सिद्ध कीजिए कि एक $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई $\frac{2 \mathrm{R}}{\sqrt{3}}$ है। अधिकतम आयतन भी ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-17
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि गोले के अंतर्गत बेलन की लंबाई $h$ है और $x$ व्यास है। तब,
$h^{2 }+ x^{2 }= (2 R)^2$
$\Rightarrow h^2 + x^2 = 4R^{2 }...(i)$
बेलन का आयतन $= \pi ($ त्रिज्या $)^2 \times$ ऊँचाई
$\Rightarrow V = \pi \left(\frac{x}{2}\right)^{2} \cdot h = \frac{1}{4} \pi x^{2} h$
$\Rightarrow V = \frac{1}{4} \pi h\left(4 R^{2}-h^{2}\right) ...(ii)$
$\Rightarrow V = \pi R^{2} h-\frac{1}{4} \pi h^{3} [$समी $(i)$ से, $x^{2} = 4R^2 - h^2]$
$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d h} = \pi R^{2} - \frac{3}{4} \pi h^{2} = \pi\left(R^{2}-\frac{3}{4} h^{2}\right)$
$\frac{d V}{d h} = 0$ रखने पर
$\Rightarrow R^{2 }= \frac{3}{4} h^{2}$
$\Rightarrow h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$
तथा $\frac{d^{2} V}{d h^{2}} = - \frac{3}{4}$
$\times 2\pi h$
$h = \frac{2 R}{\sqrt{3}} पर, \frac{d^{2} V}{d h^{2}} = - \frac{3}{4} \times 2 \pi \left(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\right) = - \sqrt{3} \pi R =$ ऋणात्मक
$\Rightarrow$ जब $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ हो, तो $v$ उच्चतम है
तथा $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ पर उच्चतम आयतन
$V = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\right)\left(4 R^{2}-\frac{4 R^{2}}{3}\right)[$समी $(ii)$ से$]$
$= \frac{\pi R}{2 \sqrt{3}} \left(\frac{8 R^{2}}{3}\right) = \frac{4 \pi R^{3}}{3 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई
इसलिए, जब $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ है, तब बेलन का आयतन उच्चतम होगा।
$h^{2 }+ x^{2 }= (2 R)^2$
$\Rightarrow h^2 + x^2 = 4R^{2 }...(i)$
बेलन का आयतन $= \pi ($ त्रिज्या $)^2 \times$ ऊँचाई
$\Rightarrow V = \pi \left(\frac{x}{2}\right)^{2} \cdot h = \frac{1}{4} \pi x^{2} h$
$\Rightarrow V = \frac{1}{4} \pi h\left(4 R^{2}-h^{2}\right) ...(ii)$
$\Rightarrow V = \pi R^{2} h-\frac{1}{4} \pi h^{3} [$समी $(i)$ से, $x^{2} = 4R^2 - h^2]$
$h$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d h} = \pi R^{2} - \frac{3}{4} \pi h^{2} = \pi\left(R^{2}-\frac{3}{4} h^{2}\right)$
$\frac{d V}{d h} = 0$ रखने पर
$\Rightarrow R^{2 }= \frac{3}{4} h^{2}$
$\Rightarrow h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$
तथा $\frac{d^{2} V}{d h^{2}} = - \frac{3}{4}$
$\times 2\pi h$
$h = \frac{2 R}{\sqrt{3}} पर, \frac{d^{2} V}{d h^{2}} = - \frac{3}{4} \times 2 \pi \left(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\right) = - \sqrt{3} \pi R =$ ऋणात्मक
$\Rightarrow$ जब $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ हो, तो $v$ उच्चतम है
तथा $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ पर उच्चतम आयतन
$V = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{2 R}{\sqrt{3}}\right)\left(4 R^{2}-\frac{4 R^{2}}{3}\right)[$समी $(ii)$ से$]$
$= \frac{\pi R}{2 \sqrt{3}} \left(\frac{8 R^{2}}{3}\right) = \frac{4 \pi R^{3}}{3 \sqrt{3}}$ वर्ग इकाई
इसलिए, जब $h = \frac{2 R}{\sqrt{3}}$ है, तब बेलन का आयतन उच्चतम होगा।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2एक कार समय $t = 0$ पर बिंदु $P$ से चलना प्रारंभ करके बिंदु $Q$ पर रुक जाती है। कार द्वारा $t$ सेकंड में तय की दूरी$, x$ मीटर में $x = t^2 \left(2-\frac{t}{3}\right)$ द्वारा प्रदत्त है। कार को $Q$ तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिए और $P$ तथा $Q$ के बीच की दूरी भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 3सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)$ होता है।View Solution
- 4आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?View Solution
- 5View Solutionकिसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
- 6ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।View Solution
- 8त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $ \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ है।View Solution
- 9सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $\alpha$ और ऊँचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन $ \frac{4}{27} \pi h^{3}$ $\tan ^{2}$ $ \alpha$ है।View Solution
- 10एक $28 \ cm$ लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?View Solution