सिद्ध कीजिए कि $R$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत विशालतम शंकु का आयतन, गोले के आयतन का $\frac{8}{27}$ होता है।
Exercise-6.5-23
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मान लीजिए कि $OC = x, CQ = r$
अब $OA = R$
शंकु की ऊँचाई $= h = x + R$
$\therefore$ शंकु का आयतन $= V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h ($दिया है$)$
अब समकोण $\triangle OCQ$ में
$OC^2+ CQ^2 = OQ^2$
$\Rightarrow x^2 + r^2 = R^2$
$\Rightarrow r^2 = R^2 - x^2 ...(ii)$
समी $(i)$ और $(ii)$ से $h$ और $r$ का मान $V$ में रखने पर,
$V = \frac{1}{3} \pi\left(R^{2}-x^{2}\right)(x+R) ....(iii) [\because h = x + R]$
समी $(iii)$ को $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = \frac{1}{3} \pi\left[\left(R^{2}-x^{2}\right)-2 x(x+R)\right]$
$\Rightarrow \frac{d V}{d x} = \frac{\pi}{3}\left[R^{2}-x^{2}-2 x^{2}-2 x R\right]$
$\Rightarrow \frac{d V}{d x} = \frac{\pi}{3}\left(R^{2}-2 x R-3 x^{2}\right)$
$\Rightarrow \frac{d V}{d x}=\frac{\pi}{3}(R-3 x)(R+x) ...(iv)$
उच्चतम मान के लिए $\frac{d V}{d x} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow \frac{\pi}{3}(R-3 x)(R+x) = 0$
$\Rightarrow x = \frac{R}{3} या x = -R $
$\Rightarrow x = \frac{R}{3} (\because x$ ऋणात्मक नहीं हो सकता है$)$
$x$ के सापेक्ष समी $(iv)$ का अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2} V}{d x^{2}}=\frac{\pi}{3}[(-3)(R+x)+(R-3 x)] = \frac{\pi}{3}(-2 R-6 x)=-\frac{\pi}{3}(2 R+6 x)$
$x = \frac{R}{3} पर, \frac{d^{2} V}{d x^{2}}=\frac{-\pi}{3}\left(2 R+\frac{6 R}{3}\right) = -\frac{4 \pi}{3} R<0$
$\therefore V$ का स्थानीय उच्चतम मान $x = \frac{R}{3}$ पर हैं
अब $x$ का मान समी $(iii)$ में रखने पर,
$V = \frac{\pi}{3}\left(R^{2}-\frac{R^{2}}{9}\right)\left(R+\frac{R}{3}\right)$
$= \frac{\pi}{3} \cdot \frac{8 R^{2}}{9} \cdot \frac{4 R}{3}=\frac{8}{27}\left(\frac{4}{3} \pi R^{3}\right)$
$\Rightarrow V = \frac{8}{27} \times$ गोले का आयतन
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