$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-14
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दिया है, $f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$
अब, $f^{\prime}(x) = 2 \cos x(- \sin x) + \cos x$
$= -2 \sin x \cos x + \cos x$
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow - 2 \sin x \cos x + \cos x = 0$
$\Rightarrow \cos x(- 2 \sin x + 1) = 0$
$\Rightarrow \cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$
निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मान के लिए, हम $f(0), f\left(\frac{\pi}{6}\right), f \left(\frac{\pi}{2}\right), f(\pi)$ ज्ञात करते हैं
$f(0) = \cos^2 0 + \sin 0 = 1^2 + 0 = 1$
$x = 0$ पर, $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos ^{2} \left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1. 25$
$x = \frac{\pi}{2} पर, f \left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin \frac{\pi}{2} = 0^2 + 1 = 1$
$x = \pi पर, f(\pi) = \cos^2\pi + \sin \pi = (- 1)^2 + 0 = 1$
अतः $f $का निरपेक्ष उच्चतम मान $1.25$ है जो $x = \frac{\pi}{6}$ पर घटित हो रहा है और निरपेक्ष निम्नतम मान $1$ है जो $x = 0,$ $\frac{\pi}{2} $और $\pi$ पर घटित हो रहा है।
अब, $f^{\prime}(x) = 2 \cos x(- \sin x) + \cos x$
$= -2 \sin x \cos x + \cos x$
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $f^{\prime}(x) = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow - 2 \sin x \cos x + \cos x = 0$
$\Rightarrow \cos x(- 2 \sin x + 1) = 0$
$\Rightarrow \cos x = 0$ या $\sin x = \frac{1}{2}$
$\Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}$
निरपेक्ष उच्चतम और निरपेक्ष निम्नतम मान के लिए, हम $f(0), f\left(\frac{\pi}{6}\right), f \left(\frac{\pi}{2}\right), f(\pi)$ ज्ञात करते हैं
$f(0) = \cos^2 0 + \sin 0 = 1^2 + 0 = 1$
$x = 0$ पर, $f \left(\frac{\pi}{6}\right) = \cos ^{2} \left(\frac{\pi}{6}\right) + \sin \frac{\pi}{6} = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{4} = 1. 25$
$x = \frac{\pi}{2} पर, f \left(\frac{\pi}{2}\right) = \cos^2 \left(\frac{\pi}{2}\right) + \sin \frac{\pi}{2} = 0^2 + 1 = 1$
$x = \pi पर, f(\pi) = \cos^2\pi + \sin \pi = (- 1)^2 + 0 = 1$
अतः $f $का निरपेक्ष उच्चतम मान $1.25$ है जो $x = \frac{\pi}{6}$ पर घटित हो रहा है और निरपेक्ष निम्नतम मान $1$ है जो $x = 0,$ $\frac{\pi}{2} $और $\pi$ पर घटित हो रहा है।
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