$18 \ cm$ भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भजा कितनी होगी जिससे संदक का आयतन उच्चतम हो?
Exercise-6.5-17
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मान लीजिए कि वर्ग की काटे जाने वाली भुजा $x$ है तथा $(0 < x < 9)$ है, तब संदूक की लम्बाई और चौड़ाई $(18 - 2x)$ और $(18 - 2x)$ होगी तथा ऊँचाई $x$ होगी। मान लीजिए कि टिन के फलकों को मोड कर ढक्कन रहित संदक्क का आयतन $V$ है।
$\therefore V = x(18 - 2x)(18 - 2x)$
$= 4x(9 - x)^{2 }= 4x (81 + x^{2 }- 18x)$
$= 4 (x^{3 }- 18x^2 + 81x)$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = 4 (3x^2 - 36x + 81) = 12(x^{2 }- 12x + 27)$
$x$ के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर
$\frac{d^{2} V}{d x^{2}} = 12(2x - 12) = 24(x - 6)$
उच्चतम मान के लिए $\frac{d V}{d x} = 0$ रखने पर$, 12(x^2 - 12x + 27) = 0$
$\Rightarrow x^2 - 12x + 27 = 0$
$\Rightarrow (x - 3)(x - 9) = 0$
$\Rightarrow x = 3, 9$
लेकिन $x = 9$ असंभव है। अतः $x = 3$ है।
$\because 2x = 2 \times 9 = 18$
जोकि वर्गाकार टुकड़े की भुजा के बराबर है।
$x = 3$ पर$, (\frac{d^{2} V}{d x^{2}})_{x = 3 }= 24(3 - 6) = - 72 < 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा $x = 3$ उच्चतम बिंदु है।
इसलिए, यदि हम $3$ सेमी प्रत्येक कोने से वर्गाकार टिन को काटते हैं और बचे टिन से संदूक बनाते हैं, तब हमें प्राप्त संदूक का आयतन उच्चतम मिलेगा।
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