ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।
EXAMPLE-50
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मान लीजिए कि अलग किए गए वर्ग की भुजा की लंबायीं $x m$ है, तब बाक्स की ऊँचाई $x,$ लंबायीं $8 - 2x$ और चौड़ाई $3 - 2x$ है।
यदि संदूक का आयतन $V (x)$ है तब
$V(x) = x(32x)(8 - 2x)$
$= 4x^3 - 22x^2+ 24x,$
अतः $V'(x) = 12x^2 - 44x + 23 = 4(x - 3)(3x - 2)$
$V'(x) = 24x - 44$
अब $V^{\prime}(x) = 0$ से $x = \frac{2}{3}$ और $x = 3$ प्राप्त होता है। परन्तु $x \neq 3$
इसलिए $x = \frac{2}{3}$
अब $V^{\prime \prime} \left(\frac{2}{3}\right) = 24\left(\frac{2}{3}\right) - 44 = - 28 < 0$
इसलिए $x = \frac{2}{3}$ उच्चतम का बिंदु है अर्थात् यदि हम चादर के प्रत्येक किनारे से $\frac{2}{3} m$ भुजा के वर्ग हटा दें और शेष चादर से एक संदूक बनाए तो संदूक का आयतन अधिकतम होगा जो निम्नलिखित है:
$V \left(\frac{2}{3}\right) = 4 \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 22\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 24\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{200}{27} \mathrm{~m}^{3}$
यदि संदूक का आयतन $V (x)$ है तब
$V(x) = x(32x)(8 - 2x)$
$= 4x^3 - 22x^2+ 24x,$
अतः $V'(x) = 12x^2 - 44x + 23 = 4(x - 3)(3x - 2)$
$V'(x) = 24x - 44$
अब $V^{\prime}(x) = 0$ से $x = \frac{2}{3}$ और $x = 3$ प्राप्त होता है। परन्तु $x \neq 3$
इसलिए $x = \frac{2}{3}$
अब $V^{\prime \prime} \left(\frac{2}{3}\right) = 24\left(\frac{2}{3}\right) - 44 = - 28 < 0$
इसलिए $x = \frac{2}{3}$ उच्चतम का बिंदु है अर्थात् यदि हम चादर के प्रत्येक किनारे से $\frac{2}{3} m$ भुजा के वर्ग हटा दें और शेष चादर से एक संदूक बनाए तो संदूक का आयतन अधिकतम होगा जो निम्नलिखित है:
$V \left(\frac{2}{3}\right) = 4 \left(\frac{2}{3}\right)^{3} - 22\left(\frac{2}{3}\right)^{2} + 24\left(\frac{2}{3}\right) = \frac{200}{27} \mathrm{~m}^{3}$
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