सिद्ध कीजिए कि एक दिए वृत के अंतर्गत सभी आयतों में वर्ग का क्षेत्रफल उच्चतम होता है।
Exercise-6.5-19
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मान लीजिए कि $\text{ABCD}$ एक आयत है जोकि वृत्त के अंतर्गत है जिसकी त्रिज्या $r$ और केंद्र $O$ है।
पुनः मान लीजिए कि $\angle CEB = \theta$
तब $EC = 2r$ तथा $EB = 2r \cos \theta$
और$ BC = 2r \sin \theta$
मान लीजिए कि आयत $\text{ABCD}$ का क्षेत्रफल $A$ है।
तब, $A = EB \times BC = 4r^2\sin \theta \cos \theta = 2r^2 \sin 2\theta$
इसलिए, $A = 2r^2 \sin 2\theta$
$\therefore \frac{d A}{d \theta} = 4r^2 \cos 2\theta, \frac{d^{2} A}{d \theta^{2}} = -8r^2 \sin 2\theta$
अब $\frac{d A}{d \theta} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 4r^2 \cos 2\theta = 0 \Rightarrow \cos 2\theta = 0 \Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ अर्थात् $\theta = \frac{\pi}{4}$
$\theta = \frac{\pi}{4}$ पर,$ \left(\frac{d^{2} A}{d \theta^{2}}\right)_{\theta=\frac{\pi}{4}} = - 8r^2 \sin \frac{\pi}{2} = - 8r^2 < 0$
$\therefore \theta = \frac{\pi}{4}$ उच्चतम बिंदु है।
इसलिए, जब $\theta = \frac{\pi}{4}$ हो, तो क्षेत्रफल उच्चतम होगा
$\therefore EB = 2r \cos \frac{\pi}{4} = r \sqrt{2} $
और $= 2r \sin \frac{\pi}{4} = r \sqrt{2}$
इसलिए, $EB = BC$ और इसलिए $\text{BCDE}$ एक वर्ग है।
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