एक निर्माता ₹$\left(5-\frac{x}{100}\right)$ प्रति इकाई की दर से x इकाइयाँ बेच सकता है। x इकाइयों का उत्पाद मूल्य ₹$ \left(\frac{x}{5}+500\right)$ है। इकाइयों की वह संख्या ज्ञात कीजिए जो उसे अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए बेचनी चाहिए।
EXAMPLE-51
Download our app for free and get started
मान लीजिए x इकाइयों का विक्रय मूल्य S(x) है और x इकाइयों का उत्पाद मूल्य C(x) है। तब हम पाते हैं
S(x) = $ \left(5-\frac{x}{100}\right) $ x = 5 x - $ \frac{x^{2}}{100}$
और C(x) = $ \frac{x}{5}$ + 500
इस प्रकार, लाभ फलन P(x) निम्नांकित द्वारा प्रदत्त है।
p(x) = S(x) - C(x) = 5x - $\frac{x^{2}}{100}$ - $\frac{x}{5}$ - 500
अर्थात् P(x) = $\frac{24}{5}$ x - $\frac{x^{2}}{100}$ - 500
या P$^{\prime}$(x) = $\frac{24}{5}-\frac{x}{50}$
अब P$^{\prime}$(x) = 0 से x = 240 प्राप्त होता है और P$^{\prime}$(x) = $\frac{-1}{50}$. इसलिए P$^{\prime \prime}$(240) = $ \frac{-1}{50}$ < 0 है।
इस प्रकार x = 240 उच्चतम का बिंदु है। अतः निर्माता अधिकतम लाभ अर्जित कर सकता है यदि वह 240 इकाइयाँ बेचता है।
S(x) = $ \left(5-\frac{x}{100}\right) $ x = 5 x - $ \frac{x^{2}}{100}$
और C(x) = $ \frac{x}{5}$ + 500
इस प्रकार, लाभ फलन P(x) निम्नांकित द्वारा प्रदत्त है।
p(x) = S(x) - C(x) = 5x - $\frac{x^{2}}{100}$ - $\frac{x}{5}$ - 500
अर्थात् P(x) = $\frac{24}{5}$ x - $\frac{x^{2}}{100}$ - 500
या P$^{\prime}$(x) = $\frac{24}{5}-\frac{x}{50}$
अब P$^{\prime}$(x) = 0 से x = 240 प्राप्त होता है और P$^{\prime}$(x) = $\frac{-1}{50}$. इसलिए P$^{\prime \prime}$(240) = $ \frac{-1}{50}$ < 0 है।
इस प्रकार x = 240 उच्चतम का बिंदु है। अतः निर्माता अधिकतम लाभ अर्जित कर सकता है यदि वह 240 इकाइयाँ बेचता है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की $\sqrt{2}$ गुनी होती है।View Solution
- 2$45$ सेमी $\times\ 24$ सेमी की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढ़क्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।View Solution
- 3सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\tan ^{-1}\sqrt{2}$ होता है।View Solution
- 4$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 5सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।View Solution
- 6सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)$ होता है।View Solution
- 7ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 8मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ है इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।View Solution
- 9शत्रु का एक अपाचे हेलिकॉप्टर वक्र $y = x^2+ 7$ के अनुदिश प्रदत्त पथ पर उड़ रहा है। बिंदु $(3, 7)$ पर स्थित एक सैनिक अपनी स्थिति से न्यूनतम दूरी पर उस हेलिकॉप्टर को गोली मारना चाहता है। न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 10आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?View Solution