सिद्ध कीजिए कि अर्द्धशीर्ष कोण $\alpha$ और ऊँचाई h के लंब वृत्तीय शंकु के अंतर्गत अधिकतम आयतन के बेलन की ऊँचाई, शंकु के ऊँचाई की एक तिहाई है और बेलन का अधिकतम आयतन $ \frac{4}{27} \pi h^{3}$ $\tan ^{2}$ $ \alpha$ है।
Miscellaneous Exercise-18
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मान लीजिए कि VAB शंकु की ऊँचाई h, अर्द्धशीर्ष कोण $\alpha$ है और मान लीजिए कि A'B'DC बेलन के आधार की त्रिज्या x है जोकि शंकु के अंतर्गत है, तब OO$^{\prime}$ बेलन की ऊँचाई है जहाँ
OO$^{\prime}$ = VO - VO$^{\prime}$ = h - x cot $\alpha $
बेलन का आयतन V = $ \pi x^{2}$ $(h-x \cot \alpha)$ ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$ \frac{d V}{d x}$ = $2 \pi x h$ - $3 \pi x^{2} \cot \alpha$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए $\frac{d V}{d x}$ = 0 रखने पर
$\Rightarrow$ 2$ \pi x h$ - $3 \pi x^{2} \cot \alpha$ = 0 $\Rightarrow$ x = $\frac{2 h}{3} \tan \alpha$ $(\because x \neq 0)$
अब
$\frac{d^{2} V}{d x^{2}}$ = 2$\pi h$ - 6$ \pi x \cot \alpha$
x = $ \frac{2 h}{3} \tan \alpha$ पर, $ \frac{d^{2} V}{d x^{2}}$ = $ \pi(2 h-4 h)$ = - $2 \pi h<0$
$\Rightarrow$ जब x = $ \frac{2 h}{3} \tan \alpha$ हो, तो V उच्चतम होगा।
अब, OO$^{\prime}$ = h - x cot $\alpha$ = h - $\frac{2 h}{3}$ = $\frac{h}{3}$
$\therefore$ बेलन का उच्चतम आयतन
V= $ \pi\left(\frac{2 h}{3} \tan \alpha\right)^{2}$$\left(h-\frac{2 h}{3}\right)$ = $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan ^{2} \alpha$
OO$^{\prime}$ = VO - VO$^{\prime}$ = h - x cot $\alpha $
बेलन का आयतन V = $ \pi x^{2}$ $(h-x \cot \alpha)$ ...(i)
x के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$ \frac{d V}{d x}$ = $2 \pi x h$ - $3 \pi x^{2} \cot \alpha$
उच्चतम या न्यूनतम मान के लिए $\frac{d V}{d x}$ = 0 रखने पर
$\Rightarrow$ 2$ \pi x h$ - $3 \pi x^{2} \cot \alpha$ = 0 $\Rightarrow$ x = $\frac{2 h}{3} \tan \alpha$ $(\because x \neq 0)$
अब
$\frac{d^{2} V}{d x^{2}}$ = 2$\pi h$ - 6$ \pi x \cot \alpha$
x = $ \frac{2 h}{3} \tan \alpha$ पर, $ \frac{d^{2} V}{d x^{2}}$ = $ \pi(2 h-4 h)$ = - $2 \pi h<0$
$\Rightarrow$ जब x = $ \frac{2 h}{3} \tan \alpha$ हो, तो V उच्चतम होगा।
अब, OO$^{\prime}$ = h - x cot $\alpha$ = h - $\frac{2 h}{3}$ = $\frac{h}{3}$
$\therefore$ बेलन का उच्चतम आयतन
V= $ \pi\left(\frac{2 h}{3} \tan \alpha\right)^{2}$$\left(h-\frac{2 h}{3}\right)$ = $\frac{4}{27} \pi h^{3} \tan ^{2} \alpha$
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