सिद्ध कीजिए कि दी हुई तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\tan ^{-1}\sqrt{2}$ होता है।

Question

Exercise-6.5-25

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Solution

मान लीजिए कि शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण $\theta$ है।
इसलिए $\theta$
$\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
पुनः मान लीजिए शंकु की त्रिज्या $r,$ ऊँचाई $h$ और तिर्यक ऊँचाई l है।
अब, $r = l \sin \theta$ तथा $h = l \cos \theta$
हम जानते हैं शंकु $V = \frac{\pi}{3} r^{2} h$
$\Rightarrow V = \frac{1}{3} \pi \left(l^{2} \sin ^{2} \theta\right)(l \cos \theta) = \frac{1}{3} \pi l^{3} \sin ^{2} \theta \cos \theta$
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d \theta} = \frac{l^{3} \pi}{3} \left[\sin ^{2} \theta(-\sin \theta)+\cos \theta(2 \sin \theta \cos \theta)\right] $
$= \frac{l^{3} \pi}{3}\left(-\sin ^{3} \theta+2 \sin \theta \cos ^{2} \theta\right) $
$\frac{d^{2} V}{d \theta^{2}} = \frac{l^{3} \pi}{3} \left(-3 \sin ^{2} \theta \cos \theta+2 \cos ^{3} \theta-4 \sin ^{2} \theta \cos \theta\right)$
$= \frac{l^{3} \pi}{3}\left(2 \cos ^{3} \theta-7 \sin ^{2} \theta \cos \theta\right)$
अधिकतम मान के लिए $\frac{d V}{d \theta} = 0$ रखने पर,
$\sin^3 \theta = 2 \sin \theta \cos^2 \theta$
$\Rightarrow \tan^2 \theta = 2 \Rightarrow \tan \theta = \sqrt{2} \Rightarrow $
$ \theta = \tan ^{-1} \sqrt{2}$
अब $\theta = \tan ^{-1}\sqrt{2} ,$ तब $\tan^2 \theta = 2$
अब $\sin ^{2} \theta = 2 \cos ^{2} \theta$
अब $\frac{d^{2} V}{d \theta^{2}} = \frac{\beta^{3} \pi}{3} \left(2 \cos ^{3} \theta-14 \cos ^{3} \theta\right) = - 4 \pi l^{3} \cos^3 \theta < 0$ जब $\theta$
$\in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा जब $\theta = \tan^{-1} \sqrt{2}$ हो, तो आयतन $V$ उच्चतम होगा।
अतः दिए गए तिर्यक ऊँचाई और महत्तम आयतन वाले शंकु का अर्द्धशीर्ष कोण $\tan^{-1} \sqrt{2}$

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