किसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
Miscellaneous Exercise-11
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मान लीजिए कि अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = r
$\therefore$ आयत की एक भुजा = 2r और दूसरी भुजा = x
$\therefore$ P = परिमाप = 10 (दिया है)
$\Rightarrow$ 2x + 2r + $\frac{1}{2}(2 \pi r)$ = 10
$\Rightarrow$ 2x =10 - r($\pi$ + 2) ...(i)
पुनः मान लीजिए कि A दर्शाया गया चित्र का क्षेत्रफल है
$\therefore$ A = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल + आयत का क्षेत्रफल
= $\frac{1}{2} \pi r^{2}$ + 2rx
$\Rightarrow$ A = $ \frac{1}{2}$ $\left(\pi r^{2}\right)$ + r[10 - r($\pi$ + 2)] [समी (i) से]
= $\frac{1}{2}\left(\pi r^{2}\right)$ + $10 r-r^{2} -2 r^{2}$ = 10r - $\frac{\pi r^{2}}{2}-2 r^{2} $
r के सापेक्ष दो बार अवकलन करने पर,
$ \frac{d A}{d r}$ = 10 - $\pi$r - 4r ...(ii)
और $\frac{d^{2} A}{d r^{2}}$ = - $\pi-4$ ...(iii)
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d A}{d r}$ = 0 रखने पर,
$\Rightarrow$ 10 - $\pi$r - 4r = 0 $\Rightarrow$ 10 = (4 + $\pi$)r $\Rightarrow$ r = $\frac{10}{4+\pi}$
समी (iii) में r = $\frac{10}{4+\pi}$ रखने पर, $\frac{d^{2} A}{d r^{2}}$ = ऋणात्मक
इसलिए, जब r = $\frac{10}{4+\pi}$ हो, तो A का स्थानीय मान उच्चतम होगा
$\therefore$ अर्द्धवृत्त की त्रिज्या = $ \frac{10}{4+\pi}$ हो, तो ...(iv)
और आयत की एक भुजा = 2r = 2r = $\frac{2 \times 10}{4+\pi}$ = $\frac{20}{4+\pi}$
समी (i) द्वारा आयत की दूसरी भुजा
x = $\frac{1}{2}[10-r(\pi+2)]$ = $\frac{1}{2}$$\left[10-\left(\frac{10}{\pi+4}\right)(\pi+2)\right]$[समी (iv) से]
= $ \frac{10 \pi+40-10 \pi-20}{2(\pi+4)}$; x = $\frac{20}{2(\pi+4)}$ = $ \frac{10}{\pi+4}$
प्रकाश उच्चतम होगा जब क्षेत्रफल उच्चतम है। इसलिए, खिड़की की विमाएँ निम्न हैं लंबाई = 2r = $\frac{20}{\pi+4}$, चौड़ाई = x = $ \frac{10}{\pi+4}$
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