एक सत्य$-$असत्य प्रकार के $20$ प्रश्नों वाली परीक्षा में मान लें कि एक विद्यार्थी एक न्याय्य सिक्के को उछाल कर प्रत्येक प्रश्न का उत्तर निर्धारित करता है। यदि पासे पर चित प्रकट हो, तो वह प्रश्न का उत्तर सत्य देता है और यदि पट प्रकट हो, तो असत्य लिखता है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वह कम$-$से$-$कम दो प्रश्नों का सही उत्तर देता है।
Exercise-13.5-7
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मान लीजिए $X,$ विद्यार्थी द्वारा सही उत्तर दिए जाने की संख्या है। सिक्के के उत्तरोत्तर उछालों का परीक्षण एक बरनौली परीक्षण है।
चूँकि चित का प्रकट होना सही उत्तर तथा पट का प्रकट होना, प्रश्न का उत्तर असत्य लिखना है। अतः प्रश्नों के उत्तर का निर्धारण एक बरनौली परीक्षण है।
$\therefore p = P ($एक सफलता$) = P ($सिक्के पर पट प्रकट होना$) = \frac{1}{2}$
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
अतः $X$ बंटन$, n = 20, p = \frac{1}{2}$ तथा $q = \frac{1}{2}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\therefore P(X = r) = { }^{20} C_{r} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{20-r}$
अतः $P ($कम$-$से$-$कम $12$ प्रश्नों का उत्तर सही देता है$)$
$= P(X \geq 12) = P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20)$
$= { }^{20} C_{12} p^{12} q^{8}+{ }^{20} C_{13} p^{13} q^{7}+{ }^{20} C_{14} p^{14} q^{6}+{ }^{20} C_{15} p^{15} q^{5} +{ }^{20} C_{16} p^{16} q^{4}+{ }^{20} C_{17} p^{17} q^{3}+{ }^{20} C_{18} p^{18} q^{2}+{ }^{20} C_{19} $$p^{19} q^{1}+{ }^{20} C_{20} p^{20}$
$= (^{20}C_{12} +^{20}C_{13} + ^{20}C_{14} + ^{20}C_{15} + ^{20}C_{16}+ ^{20}C_{17 }\left.+{ }^{20} C_{18}+{ }^{20} C_{19}+{ }^{20} C_{20}\right) \cdot \frac{1}{2^{20}}$
$= \left(\frac{1}{2}\right)^{20}(^{20}C_{12} +^{20}C_{13} + ... + ^{20}C_{20})$
चूँकि चित का प्रकट होना सही उत्तर तथा पट का प्रकट होना, प्रश्न का उत्तर असत्य लिखना है। अतः प्रश्नों के उत्तर का निर्धारण एक बरनौली परीक्षण है।
$\therefore p = P ($एक सफलता$) = P ($सिक्के पर पट प्रकट होना$) = \frac{1}{2}$
$\therefore q = 1 - p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$
अतः $X$ बंटन$, n = 20, p = \frac{1}{2}$ तथा $q = \frac{1}{2}$ वाला एक द्विपद बंटन है।
$\therefore P(X = r) = { }^{20} C_{r} \cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{r}\left(\frac{1}{2}\right)^{20-r}$
अतः $P ($कम$-$से$-$कम $12$ प्रश्नों का उत्तर सही देता है$)$
$= P(X \geq 12) = P(12) + P(13) + P(14) + P(15) + P(16) + P(17) + P(18) + P(19) + P(20)$
$= { }^{20} C_{12} p^{12} q^{8}+{ }^{20} C_{13} p^{13} q^{7}+{ }^{20} C_{14} p^{14} q^{6}+{ }^{20} C_{15} p^{15} q^{5} +{ }^{20} C_{16} p^{16} q^{4}+{ }^{20} C_{17} p^{17} q^{3}+{ }^{20} C_{18} p^{18} q^{2}+{ }^{20} C_{19} $$p^{19} q^{1}+{ }^{20} C_{20} p^{20}$
$= (^{20}C_{12} +^{20}C_{13} + ^{20}C_{14} + ^{20}C_{15} + ^{20}C_{16}+ ^{20}C_{17 }\left.+{ }^{20} C_{18}+{ }^{20} C_{19}+{ }^{20} C_{20}\right) \cdot \frac{1}{2^{20}}$
$= \left(\frac{1}{2}\right)^{20}(^{20}C_{12} +^{20}C_{13} + ... + ^{20}C_{20})$
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