एक डॉक्टर को एक रोगी को देखने आना है। पहले के अनुभवों से यह ज्ञात है कि उसके ट्रेन, बस, स्कूटर या किसी अन्य वाहन से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{3}{10}, \frac{1}{5}, \frac{1}{10}$ या $\frac{2}{5}$ है यदि वह ट्रेन, बस या स्कूटर से आता है तो उसके देर से आने की प्रायिकताएँ क्रमशः $\frac{1}{4}, \frac{1}{3}$, या $\frac{1}{12} $ है, परंतु किसी अन्य वाहन से आने पर उसे देर नहीं होती है। यदि वह देर से आया, तो उसके ट्रेन से आने की प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
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मान लीजिए कि 'डॉक्टर के रोगी के यहाँ देर से आने' की घटना $E$ है। यदि डॉक्टर के ट्रेन, बस, स्कूटर या किसी अन्य वाहन द्वारा आने की घटनाएँ क्रमश: $T_1, T_{2,} T_3,$ और $T_4$ हो, तो
$\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) = \frac{3}{10},$
$ \mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{2}\right) = \frac{1}{5}, \mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{3}\right) = \frac{1}{10}$ और $\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{4}\right) = \frac{2}{5} ($दिया है$)$
$P(E|T_1) = $ डॉक्टर के ट्रेन द्वारा आने पर देर से पहुंचने की प्रायिकता $= \frac{1}{4}$
इसी प्रकार, $\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{2}\right) = \frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{3}\right) = \frac{1}{12}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{4}\right) = 0,$ क्योंकि अन्य वाहन द्वारा आने पर उसे देरी नहीं होती।
अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1} \mid \mathrm{E}\right)=$ डॉक्टर द्वारा देर से आने पर ट्रेन द्वारा आने की प्रायिकता
$= \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{1}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{4}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{10} \times \frac{1}{12}+\frac{2}{5} \times 0} = \frac{3}{40} \times \frac{120}{18} = \frac{1}{2}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
$\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) = \frac{3}{10},$
$ \mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{2}\right) = \frac{1}{5}, \mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{3}\right) = \frac{1}{10}$ और $\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{4}\right) = \frac{2}{5} ($दिया है$)$
$P(E|T_1) = $ डॉक्टर के ट्रेन द्वारा आने पर देर से पहुंचने की प्रायिकता $= \frac{1}{4}$
इसी प्रकार, $\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{2}\right) = \frac{1}{3}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{3}\right) = \frac{1}{12}, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{4}\right) = 0,$ क्योंकि अन्य वाहन द्वारा आने पर उसे देरी नहीं होती।
अब बेज़$-$प्रमेय द्वारा
$\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1} \mid \mathrm{E}\right)=$ डॉक्टर द्वारा देर से आने पर ट्रेन द्वारा आने की प्रायिकता
$= \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{1}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{3}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{T}_{4}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{T}_{4}\right)}$
$= \frac{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}}{\frac{3}{10} \times \frac{1}{4}+\frac{1}{5} \times \frac{1}{3}+\frac{1}{10} \times \frac{1}{12}+\frac{2}{5} \times 0} = \frac{3}{40} \times \frac{120}{18} = \frac{1}{2}$
अतः अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{2}$ है।
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