$45$ सेमी $\times\ 24$ सेमी की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढ़क्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।
Exercise-6.5-18
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मान लीजिए कि काटे जाने वाली वर्ग की भुजा $x$ सेमी संदूक की ऊँचाई है, तब लंबाई $45 - 2x$ और चौड़ाई $24 - 2x$ होगी।
माना संदूक का आयतन $V$ है।
$\therefore V = x(24 - 2x)(45 - 2x)$
$\Rightarrow V = x(4 x^{2 }- 138x + 1080) $
$= 4x^3 - 138x^2 + 1080x$
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d V}{d x} = 12x^2 - 276x + 1080$
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर
$\frac{d^{2} V}{d x^{2}} = 24x - 276$
उच्चतम मान के लिए $\frac{d V}{d x} = 0$ रखने पर,
$\Rightarrow 12x^{2 }- 276x + 1080 = 0$
$\Rightarrow x^{2 }- 23x + 90 = 0$
$\Rightarrow (x - 18)(x - 5) = 0$
$\Rightarrow x = 5, 18$
यह संभव नहीं है कि $18$ सेमी भुजा वाले वर्ग को प्रत्येक कोने से काटा जाए।
इसलिए, $x, 18$ के बराबर नहीं हो सकता है।
$x = 5$ पर, $\left(\frac{d^{2} V}{d x^{2}}\right)_{x=5}$
$= 24 \times 5 - 276 $
$= 120 - 276 $
$= - 156 < 0$
$\therefore$ द्वितीय अवकलन परीक्षण द्वारा$, x = 5$ उच्चतम बिंदु है।
अतः काटे जाने वाली वर्ग की भुजा $5$ सेमी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम होगा।
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