पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्द्ध शीर्ष कोण $\tan^{-1}(0.5)$ है। इसमें $5 m^3 / min$ की दर से पानी भरा जाता है। पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई $10 m$ है।
EXAMPLE-43
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मान लीजिए कि $r, h$ और $\alpha$ के अनुसार है। तब $\tan \alpha = \frac{r}{h}$ है।
इसलिए $\alpha = \tan^{-1 }\left(\frac{r}{h}\right) = \tan^{-1}(0.5)\ ($दिया है$)$
अतः $\frac{r}{h} = 0.5$ या $r = \frac{h}{2}$
मान लीजिए शंकु का आयतन $V$ है।
तब $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h = \frac{1}{3} \pi\left(\frac{h}{2}\right)^{2} h = \frac{\pi h^{3}}{12}$
अतः $\frac{d \mathrm{~V}}{d t} = \frac{d}{d h}\left(\frac{\pi h^{3}}{12}\right) \cdot \frac{d h}{d t}\ ($शृंखला नियम द्वारा$)$
$= \frac{\pi}{4} h^{2} \frac{d h}{d t}$
अब आयतन के परिवर्तन की दर अर्थात् $\frac{d \mathrm{~V}}{d t} = 5 \ cm^3 / min$ और $h = 4 m$ है।
इसलिए $5 = \frac{\pi}{4}(4)^{2} \cdot \frac{d h}{d t}$
या $\frac{d h}{d t} = \frac{5}{4 \pi} = \frac{35}{88} \mathrm{~m} / \mathrm{min} \left(\pi=\frac{22}{7}\right)$
अतः पानी के स्तर के उठने की दर $\frac{35}{88} \mathrm{~m} / \mathrm{min}$ है।
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