सिद्ध कीजिए कि न्यूनतम पृष्ठ का दिए आयतन के लंब वृत्तीय शंकु की ऊँचाई, आधार की त्रिज्या की $\sqrt{2}$ गुनी होती है।
Exercise-6.5-24
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि शंकु की ऊँचाई h, आधार की त्रिज्या $r,$ आयतन $V$ और पृष्ठ क्षेत्रफल $S$ है, तब $V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h$
$\Rightarrow 3V = \pi r^{2} h$
$ \Rightarrow 9V^{2 }= \pi^{2} r^{4} h^{2}$
$ \Rightarrow h^{2 }= \frac{9 V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}...(i)$
और $S = \pi rl $
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}} \left(\because l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\right)$
$\Rightarrow S^2 = \pi^{2} r^{2} \left(r^{2}+h^{2}\right) = \pi^{2} r^{2} \left(\frac{9 V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}+r^{2}\right) [$समी $(i)$ से$]$
$\Rightarrow S^{2 }= \frac{9 V^{2}}{r^{2}}+\pi^{2} r^{4} ...(ii)$
जब $S$ न्यूनतम है, तो $S^2$ भी न्यूनतम है।
अब, $\frac{d}{d r}\left(S^{2}\right)= - \frac{18 V^{2}}{r^{3}} + 4 \pi^{2} r^{3}$
न्यूनतम मान के लिए, $\frac{d}{d r}\left(S^{2}\right) = 0$ रखने पर
$\Rightarrow - \frac{18 V^{2}}{r^{3}}+4 \pi^{2} r^{3} = 0$
$ \Rightarrow 18V^{2 }= 4\pi^{2} r^{6} ...(iii)$
$ \Rightarrow 9V^2 = 2\pi^{2} r^{6}$
समी $(iii)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(S^{2}\right) = \frac{54 V^{2}}{r^{4}}+12 \pi^{2} r^{2}$
$9V^2 = 2 \pi^{2} r^{6} पर, \frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(S^{2}\right) = \frac{54}{r^{4}} \left(\frac{2 \pi^{2} r^{6}}{9}\right) + 12 \pi^{2} r^{2} $
$= \frac{12 \pi^{2} r^{6}}{r^{4}} + 12 \pi^{2} r^{2} = 24 \pi^{2} r^{2} > 0$
इस प्रकार $S^{2}$ और $S$ न्यूनतम होंगे जब $9V^2= 2 \pi^{2} r^{6}$
समी $(i)$ में $9V^2 = 2 \pi^{2} r^{6}$ मान रखने पर,
$2 \pi^{2} r^{6} = \pi^{2} r^{4} h^{2}$
$ \Rightarrow 2r^{2 }= h^2 $
$\Rightarrow h = \sqrt{2} r$
इस प्रकार लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई आधार की त्रिज्या की $\sqrt{2}$ गुनी होती है।
$\Rightarrow 3V = \pi r^{2} h$
$ \Rightarrow 9V^{2 }= \pi^{2} r^{4} h^{2}$
$ \Rightarrow h^{2 }= \frac{9 V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}...(i)$
और $S = \pi rl $
$\Rightarrow S = \pi r \sqrt{r^{2}+h^{2}} \left(\because l=\sqrt{h^{2}+r^{2}}\right)$
$\Rightarrow S^2 = \pi^{2} r^{2} \left(r^{2}+h^{2}\right) = \pi^{2} r^{2} \left(\frac{9 V^{2}}{\pi^{2} r^{4}}+r^{2}\right) [$समी $(i)$ से$]$
$\Rightarrow S^{2 }= \frac{9 V^{2}}{r^{2}}+\pi^{2} r^{4} ...(ii)$
जब $S$ न्यूनतम है, तो $S^2$ भी न्यूनतम है।
अब, $\frac{d}{d r}\left(S^{2}\right)= - \frac{18 V^{2}}{r^{3}} + 4 \pi^{2} r^{3}$
न्यूनतम मान के लिए, $\frac{d}{d r}\left(S^{2}\right) = 0$ रखने पर
$\Rightarrow - \frac{18 V^{2}}{r^{3}}+4 \pi^{2} r^{3} = 0$
$ \Rightarrow 18V^{2 }= 4\pi^{2} r^{6} ...(iii)$
$ \Rightarrow 9V^2 = 2\pi^{2} r^{6}$
समी $(iii)$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(S^{2}\right) = \frac{54 V^{2}}{r^{4}}+12 \pi^{2} r^{2}$
$9V^2 = 2 \pi^{2} r^{6} पर, \frac{d^{2}}{d r^{2}} \left(S^{2}\right) = \frac{54}{r^{4}} \left(\frac{2 \pi^{2} r^{6}}{9}\right) + 12 \pi^{2} r^{2} $
$= \frac{12 \pi^{2} r^{6}}{r^{4}} + 12 \pi^{2} r^{2} = 24 \pi^{2} r^{2} > 0$
इस प्रकार $S^{2}$ और $S$ न्यूनतम होंगे जब $9V^2= 2 \pi^{2} r^{6}$
समी $(i)$ में $9V^2 = 2 \pi^{2} r^{6}$ मान रखने पर,
$2 \pi^{2} r^{6} = \pi^{2} r^{4} h^{2}$
$ \Rightarrow 2r^{2 }= h^2 $
$\Rightarrow h = \sqrt{2} r$
इस प्रकार लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई आधार की त्रिज्या की $\sqrt{2}$ गुनी होती है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1एक निर्माता ₹$\left(5-\frac{x}{100}\right)$ प्रति इकाई की दर से x इकाइयाँ बेच सकता है। x इकाइयों का उत्पाद मूल्य ₹$ \left(\frac{x}{5}+500\right)$ है। इकाइयों की वह संख्या ज्ञात कीजिए जो उसे अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए बेचनी चाहिए।View Solution
- 2पानी की एक टंकी का आकार, उर्ध्वाधर अक्ष वाले एक उल्टे लंब वृत्तीय शंकु है जिसका शीर्ष नीचे है। इसका अर्द्ध शीर्ष कोण $\tan^{-1}(0.5)$ है। इसमें $5 m^3 / min$ की दर से पानी भरा जाता है। पानी के स्तर के बढ़ने की दर उस क्षण ज्ञात कीजिए जब टंकी में पानी की ऊँचाई $10 m$ है।View Solution
- 3$45$ सेमी $\times\ 24$ सेमी की टिन की आयताकार चादर के कोनों पर वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बनें टिन के फलकों को मोड़कर ढ़क्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भुजा कितनी होगी जिससे संदूक का आयतन उच्चतम हो।View Solution
- 4View Solutionसिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
- 5दीर्घवृत्त $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $ \frac{y^{2}}{b^{2}}$ = 1 के अंतर्गत उस समद्विबाहु त्रिभुज का महत्तम क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका शीर्ष दीर्घ अक्ष का एक सिरा है।View Solution
- 6$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7एक $28 \ cm$ लंबे तार को दो टुकड़ों में विभक्त किया जाना है। एक टुकड़े से वर्ग तथा दूसरे वे वृत्त बनाया जाना है। दोनों टुकड़ों की लंबायीं कितनी होनी चाहिए जिससे वर्ग एवं वृत्त का सम्मिलित क्षेत्रफल न्यूनतम हो?View Solution
- 8एक कार समय $t = 0$ पर बिंदु $P$ से चलना प्रारंभ करके बिंदु $Q$ पर रुक जाती है। कार द्वारा $t$ सेकंड में तय की दूरी$, x$ मीटर में $x = t^2 \left(2-\frac{t}{3}\right)$ द्वारा प्रदत्त है। कार को $Q$ तक पहुँचने में लगा समय ज्ञात कीजिए और $P$ तथा $Q$ के बीच की दूरी भी ज्ञात कीजिए।View Solution
- 9$18 \ cm$ भुजा के टिन के किसी वर्गाकार टुकड़े से प्रत्येक कोने पर एक वर्ग काटकर तथा इस प्रकार बने टिन के फलकों को मोड़ कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। काटे जाने वाले वर्ग की भजा कितनी होगी जिससे संदक का आयतन उच्चतम हो?View Solution
- 10मान लीजिए $[a, b]$ पर परिभाषित एक फलन $f$ है इस प्रकार कि सभी $x \in (a, b)$ के लिए $f^{\prime}(x) > 0$ है तो सिद्ध कीजिए कि $(a, b)$ पर $f$ एक वर्धमान फलन है।View Solution