सिद्ध कीजिए कि एक $r$ त्रिज्या के गोले के अंतर्गत उच्चतम आयतन के लंबवृत्तीय शंकु की ऊँचाई $\frac{4 r}{3}$ है।
Miscellaneous Exercise-15
Download our app for free and get started
मान लीजिए कि शंकु की त्रिज्या $R$ और ऊँचाई h है।
$\therefore OA = h - r$
अब $\triangle \text{OAB}$ में$, r^{2 }= R^{2 }+ (h - r)^2$
$\Rightarrow r^{2 }= R^2 + h^{2 }+ r^{2 }- 2rh$
$\Rightarrow R^{2 }= 2rh - h^2$
शंकु का आयतन $V = \frac{1}{3} \pi R^{2} h$
$= \frac{1}{3} \pi h \left(2 r h-h^{2}\right) = \frac{1}{3} \pi \left(2 r h^{2}-h^{3}\right)$
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d V}{d h} = 0$ रखने पर
$\Rightarrow 4rh = 3h^2$
$\Rightarrow 4r = 3h$
$\therefore h = \frac{4 r}{3} (h \neq 0)$
अब$, \frac{d^{2} V}{d h^{2}} = \frac{1}{3} \pi (4r - 6h)$
$h = \frac{4 r}{3}$ पर$, \left(\frac{d^{2} V}{d h^{2}}\right)_{h=\frac{4 r}{3}}$
$= \frac{1}{3} \pi\left(4 r-6 \times \frac{4 r}{3}\right)= \frac{\pi}{3}(4r - 8r) = \frac{-4 r \pi}{3}<0$
जब $h = \frac{4 r}{3}$ हो, तो $V$ उच्चतम होगा।
अतः शंकु का आयतन उच्चतम होगा। जब $h = \frac{4 r}{3}$ जोकि शंकु की ऊँचाई है।
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1$f(x) = \cos^2 x + \sin x, x \in [0, \pi]$ द्वारा प्रदत्त फलन $f$ का निरपेक्ष उच्चतम और निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।View Solution
- 2View Solutionसिद्ध कीजिए कि एक शंकु के अंतर्गत महत्तम वक्रपृष्ठ वाले लंब वृत्तीय बेलन की त्रिज्या शंकु की त्रिज्या की आधी होती है।
- 3त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $ \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ है।View Solution
- 4अंतराल ज्ञात कीजिए जिनमें $f(x) = 2x^{2 }- 3x$ से प्रदत्त फलन $f$View Solution
- वर्धमान
- ह्रासमान
- 5View Solution2 m ऊँचाई का आदमी 6 m ऊँचे बिजली के खंभे से दूर 5 km/ h की समान चाल से चलता है। उसकी छाया की लंबायीं की वृद्धि दर ज्ञात कीजिए।
- 6ऐल्यूमिनियम की $3m \times 8 m$ की आयताकार चादर के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटने पर बने एल्यूमिनियम के फलकों को मोड़कर ढक्कन रहित एक संदूक बनाना है। इस प्रकार बने संदूक का अधिकतम आयतन ज्ञात कीजिए।View Solution
- 7View Solutionकिसी आयत के ऊपर बने अर्धवृत्त के आकार वाली खिड़की है। खिड़की का संपूर्ण परिमाप 10 m है। पूर्णतया खुली खिड़की से अधिकतम प्रकाश आने के लिए खिड़की की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
- 8आयताकार आधार व आयताकार दीवारों की $2 m$ गहरी और $8 m^3$ आयतन की एक बिना ढक्कन की टंकी का निर्माण करना है। यदि टंकी के निर्माण में आधार के लिए $Rs. 70/m^2$ और दीवारों पर $Rs. 45 /m^2$ व्यय आता है तो निम्नतम खर्च से बनी टंकी की लागत क्या है?View Solution
- 9सिद्ध कीजिए कि दिए हुए पृष्ठ और महत्तम आयतन वाले लंब वृत्तीय शंकु का अर्ध शीर्ष कोण $\sin^{-1} \left(\frac{1}{3}\right)$ होता है।View Solution
- 10एक निर्माता ₹$\left(5-\frac{x}{100}\right)$ प्रति इकाई की दर से x इकाइयाँ बेच सकता है। x इकाइयों का उत्पाद मूल्य ₹$ \left(\frac{x}{5}+500\right)$ है। इकाइयों की वह संख्या ज्ञात कीजिए जो उसे अधिकतम लाभ अर्जित करने के लिए बेचनी चाहिए।View Solution