त्रिभुज की भुजाओं से a और b दूरी पर त्रिभुज के कर्ण पर स्थित एक बिंदु है। सिद्ध कीजिए कि कर्ण की न्यूनतम लंबाई $ \left(a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}$ है।
Miscellaneous Exercise-12
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मान लीजिए समकोण $\triangle $ABC के कर्ण AC में P एक बिंदु इस प्रकार है कि
PL $\perp$ AB = a और PM $\perp $ BC = b
पुनः मान लीजिए
$\angle A P L$ = $ \angle A C B$ = $\theta $
AP = asec $\theta $, PC = b $\operatorname{cosec} \theta $
पुनः मान लीजिए कि कर्ण की लंबाई I है, तब
l = AP + PC $\Rightarrow$ l = a sec $\theta $ + b $\operatorname{cosec} \theta$, 0 < $\theta$ < $ \frac{\pi}{2} $
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d l}{d \theta}$ = $a \sec \theta \tan \theta$ - $b \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d l}{d \theta}$ = 0 रखने पर
$\Rightarrow$ asec $\theta \tan \theta$ = b $b\operatorname{cosec} \theta \cot \theta$
$\Rightarrow$ $\frac{a \sin \theta}{\cos ^{2} \theta}$ = $\frac{b \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} $ $\Rightarrow $ $\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos ^{3} \theta}$ = $\frac{b}{a}$
$ \Rightarrow$ $\tan ^{3} \theta$ = $\frac{b}{a}$ $ \Rightarrow$ $ \tan \theta$ $\left(\frac{b}{a}\right)^{1 / 3} $
अब, $\frac{d^{2} l}{d \theta^{2}}$ = a $\left(\sec \theta \times \sec ^{2} \theta+\tan \theta \times \sec \theta \tan \theta\right)$ - b $\left[\operatorname{cosec} \theta\left(-\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)+\cot \theta(-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta)\right]$
= a $\sec \theta$ $ \left(\sec ^{2} \theta+\tan ^{2} \theta\right)$ + b $ \operatorname{cosec}$ $ \theta$ $\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta\right)$
चूँकि 0 < $\theta$ < $ \frac{\pi}{2}$ है इसलिए त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होंगे
और a > 0, b > 0
$\therefore$ $ \frac{d^{2} l}{d \theta^{2}}$ धनात्मक है।
$\Rightarrow$ जब $\tan \theta$ = $ \left(\frac{b}{a}\right)^{1 / 3}$ हो, तो I न्यूनतम है।
$\therefore$ l का न्यूनतम मान = a sec $ \theta$ + $b \operatorname{cosec} \theta$
= a $ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{a^{1 / 3}}$+ b$ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{b^{1 / 3}}$
= $\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}$ $\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)$= $\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)^{3 / 2} $ [$\because$ $\Delta$ EFG में, sec $\theta$ = $ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{a^{1 / 3}}$ तथा $ \operatorname{cosec} \theta$ = $\frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{b^{1 / 3}}$]
PL $\perp$ AB = a और PM $\perp $ BC = b
पुनः मान लीजिए
$\angle A P L$ = $ \angle A C B$ = $\theta $
AP = asec $\theta $, PC = b $\operatorname{cosec} \theta $
पुनः मान लीजिए कि कर्ण की लंबाई I है, तब
l = AP + PC $\Rightarrow$ l = a sec $\theta $ + b $\operatorname{cosec} \theta$, 0 < $\theta$ < $ \frac{\pi}{2} $
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,
$\frac{d l}{d \theta}$ = $a \sec \theta \tan \theta$ - $b \operatorname{cosec} \theta \cot \theta$
उच्चतम और निम्नतम मान के लिए $\frac{d l}{d \theta}$ = 0 रखने पर
$\Rightarrow$ asec $\theta \tan \theta$ = b $b\operatorname{cosec} \theta \cot \theta$
$\Rightarrow$ $\frac{a \sin \theta}{\cos ^{2} \theta}$ = $\frac{b \cos \theta}{\sin ^{2} \theta} $ $\Rightarrow $ $\frac{\sin ^{3} \theta}{\cos ^{3} \theta}$ = $\frac{b}{a}$
$ \Rightarrow$ $\tan ^{3} \theta$ = $\frac{b}{a}$ $ \Rightarrow$ $ \tan \theta$ $\left(\frac{b}{a}\right)^{1 / 3} $
अब, $\frac{d^{2} l}{d \theta^{2}}$ = a $\left(\sec \theta \times \sec ^{2} \theta+\tan \theta \times \sec \theta \tan \theta\right)$ - b $\left[\operatorname{cosec} \theta\left(-\operatorname{cosec}^{2} \theta\right)+\cot \theta(-\operatorname{cosec} \theta \cot \theta)\right]$
= a $\sec \theta$ $ \left(\sec ^{2} \theta+\tan ^{2} \theta\right)$ + b $ \operatorname{cosec}$ $ \theta$ $\left(\operatorname{cosec}^{2} \theta+\cot ^{2} \theta\right)$
चूँकि 0 < $\theta$ < $ \frac{\pi}{2}$ है इसलिए त्रिकोणमितीय अनुपात धनात्मक होंगे
और a > 0, b > 0
$\therefore$ $ \frac{d^{2} l}{d \theta^{2}}$ धनात्मक है।
$\Rightarrow$ जब $\tan \theta$ = $ \left(\frac{b}{a}\right)^{1 / 3}$ हो, तो I न्यूनतम है।
$\therefore$ l का न्यूनतम मान = a sec $ \theta$ + $b \operatorname{cosec} \theta$
= a $ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{a^{1 / 3}}$+ b$ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{b^{1 / 3}}$
= $\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}$ $\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)$= $\left(a^{2 / 3}+b^{2 / 3}\right)^{3 / 2} $ [$\because$ $\Delta$ EFG में, sec $\theta$ = $ \frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{a^{1 / 3}}$ तथा $ \operatorname{cosec} \theta$ = $\frac{\sqrt{a^{2 / 3}+b^{2 / 3}}}{b^{1 / 3}}$]
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