$52$ ताशों की गड्डी से एक पत्ता खो जाता है। शेष पत्तों से दो पत्ते निकाले जाते हैं जो ईट के पत्ते हैं। खो गए पत्ते की ईंट के होने की प्रायिकता क्या है$?$
Exercise-13.3-12
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मान लीजिए घटना $E_1$ 'खो गया पत्ता ईंट होने' को दर्शाता है
$\Rightarrow n(E_1) = 13$
$E_2$ घटना 'खो गया पत्ता ईट नहीं होने' को दर्शाता है
$\Rightarrow n(E_2) = 52 - 13 = 39$
तथा प्रतिदर्श समष्टि $n(S) = 52$
तब, $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटना है।
$\therefore P\left(E_{1}\right) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ तथा $P\left(E_{2}\right) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$
मान लीजिए $E$ घटना 'शेष पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते ईंट के होने' को निरूपित करता है। तथा अब ताश के $51$ पत्तों की गड्डी में से शेष ईंट के पत्तों की संख्या $12$ होगी जबकि एक खोया गया ईंट का पत्ता हो। अब इन $12$ ईंट के पत्तों में से ईंट के पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{12}C_2$हो सकते हैं।
इसी प्रकार, $51$ पत्तों की गड्डी में से दो ईंट के पत्ते निकालने के कुल $^{51}C_2$ तरीके हो सकते हैं। अतः दो पत्तों को प्राप्त करने की प्रायिकता जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो, को $P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)$ के द्वारा प्राप्त करते हैं।
$\therefore P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P ($जब खो गया पत्ता ईंढ का है, तब शेष पत्तों में से निकाले गए पत्ते ईंट के हों $) = \frac{{ }^{12} C_{2}}{{ }^{51} C_{2}} = \frac{\frac{12 \times 11}{1 \times 2}}{\frac{51 \times 50}{1 \times 2}} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50}$
तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P ($ जब खो गया पत्ता ईंट का नहीं हो, तब शेष पत्तों में से निकाले गए पत्ते ईंट के हों$)$
$= \frac{{ }^{13} C_{2}}{{ }^{51} C_{2}} = \frac{\frac{13 \times 12}{1 \times 2}}{\frac{51 \times 50}{1 \times 2}} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50}$
अतः बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P\left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)} $
$= \frac{\frac{12 \times 11}{51 \times 50} \times \frac{1}{4}}{\frac{12 \times 11}{51 \times 50} \times \frac{1}{4}+\frac{13 \times 12}{51 \times 50} \times \frac{3}{4}}$
$= \frac{12 \times 11}{12 \times 11+13 \times 12 \times 3} $
$= \frac{132}{132+468} $
$= \frac{132}{600} $
$= \frac{11}{50}$
$\Rightarrow n(E_1) = 13$
$E_2$ घटना 'खो गया पत्ता ईट नहीं होने' को दर्शाता है
$\Rightarrow n(E_2) = 52 - 13 = 39$
तथा प्रतिदर्श समष्टि $n(S) = 52$
तब, $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी तथा परिपूर्ण घटना है।
$\therefore P\left(E_{1}\right) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$ तथा $P\left(E_{2}\right) = \frac{39}{52} = \frac{3}{4}$
मान लीजिए $E$ घटना 'शेष पत्तों में से निकाले गए दो पत्ते ईंट के होने' को निरूपित करता है। तथा अब ताश के $51$ पत्तों की गड्डी में से शेष ईंट के पत्तों की संख्या $12$ होगी जबकि एक खोया गया ईंट का पत्ता हो। अब इन $12$ ईंट के पत्तों में से ईंट के पत्ते निकालने के कुल तरीके $^{12}C_2$हो सकते हैं।
इसी प्रकार, $51$ पत्तों की गड्डी में से दो ईंट के पत्ते निकालने के कुल $^{51}C_2$ तरीके हो सकते हैं। अतः दो पत्तों को प्राप्त करने की प्रायिकता जब एक ईंट का पत्ता खो गया हो, को $P\left(\frac{E}{E_{1}}\right)$ के द्वारा प्राप्त करते हैं।
$\therefore P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P ($जब खो गया पत्ता ईंढ का है, तब शेष पत्तों में से निकाले गए पत्ते ईंट के हों $) = \frac{{ }^{12} C_{2}}{{ }^{51} C_{2}} = \frac{\frac{12 \times 11}{1 \times 2}}{\frac{51 \times 50}{1 \times 2}} = \frac{12 \times 11}{51 \times 50}$
तथा $P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) = P ($ जब खो गया पत्ता ईंट का नहीं हो, तब शेष पत्तों में से निकाले गए पत्ते ईंट के हों$)$
$= \frac{{ }^{13} C_{2}}{{ }^{51} C_{2}} = \frac{\frac{13 \times 12}{1 \times 2}}{\frac{51 \times 50}{1 \times 2}} = \frac{13 \times 12}{51 \times 50}$
अतः बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P\left(\frac{E_{1}}{E}\right) = \frac{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)} $
$= \frac{\frac{12 \times 11}{51 \times 50} \times \frac{1}{4}}{\frac{12 \times 11}{51 \times 50} \times \frac{1}{4}+\frac{13 \times 12}{51 \times 50} \times \frac{3}{4}}$
$= \frac{12 \times 11}{12 \times 11+13 \times 12 \times 3} $
$= \frac{132}{132+468} $
$= \frac{132}{600} $
$= \frac{11}{50}$
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