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मान लीजिए दो पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को $x$ से व्यक्त किया गया है। $x$ का प्रसारण और मानक विचलन ज्ञात कीजिए।
Exercise-13.4-13
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मान लीजिए $x$ दो न्याय्य पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं के योग को व्यक्त करता है।
चूँकि किसी न्याय्य पासों को फेंकने पर प्राप्त संख्याओं का योग कभी भी $1$ के बराबर नहीं हो सकता है।
अतः $x$ के मान $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11$ या $12$ हो सकते हैं।
$P(X = 2) = P[{1, 1}] = \frac{1}{36},$
$P(X = 3) = P[{(1, 2),(2, 1)}] = \frac{2}{36}$
$P(X = 4) = P[{(1, 3),(2, 2),(3,1)}] = \frac{3}{36}$
$P(X = 5) = P[{(1, 4),(2, 3),(3, 2),(4, 1)}] = \frac{4}{36}$
$P(X = 6) = P[{(1, 5),(2, 4),(3, 3),(4, 2),(5, 1)}] = \frac{5}{36}$
$P(X = 7) = P[{(1, 6),(2, 5),(3, 4),(4, 3),(5, 2),(6, 1)}] = \frac{6}{36}$
$P(X = 8) = P[{(2, 6),(3, 5),(4, 4),(5, 3),(6, 2)}] = \frac{5}{36}$
$P(X = 9) = P[{(3, 6),(4, 5),(5, 4),(6, 3)}] = \frac{4}{36}$
$P(X = 10) = P[{(4, 6),(5, 5),(6, 4)}] = \frac{3}{36}$
$P(X = 11) = P[{(5, 6),(6, 5)}] =\frac{2}{36},$
$ P(X = 12) = P[(6, 6)] = \frac{1}{36}$
$x$ $2$ $3$ $4$ $5$ $6$ $7$ $8$ $9$ $10$ $11$ $12$
$P(x)$ $\frac{1}{36}$ $\frac{2}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{4}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{6}{36}$ $\frac{5}{36}$ $\frac{4}{36}$ $\frac{3}{36}$ $\frac{2}{36}$ $\frac{1}{36}$
यादृच्छिक चर $x$ का माध्य
$= \Sigma XP(X) = \frac{\left[2 \times 1+3 \times 2+4 \times 3+5 \times 4+6 \times 5+7 \times 6 +8 \times 5+9 \times 4+10 \times 3+11 \times 2+12 \times 1\right]}{36}$
$=\frac{\left[2+6+12+20+30+42 +40+36+30+22+12 \right]}{36}$ =$\frac{252}{36}= 7$
यदृच्छिक $x$ का प्रसरण $= \Sigma X^2 P(X) - ($माध्य$)^2$
$= \frac{[{l} 2^{2} \times 1+3^{2} \times 2+4^{2} \times 3+5^{2} \times 4+6^{2} \times 5+7^{2} \times 6 +8^{2} \times 5+9^{2} \times 4+10^{2} \times 3+11^{2} \times 2+12^{2} \times 1]}{36} - 7^2$
$= \frac{\left[4+18+48+100+180+294 +320+324+300+242+144 \right]}{36} - 49$
$= \frac{1974}{36}-49 $
$= \frac{1974-1764}{36} $
$= \frac{210}{36}$
$=\frac{35}{6}$
अतः मानक विचलन, $SD = \sqrt{\frac{35}{6}}=\sqrt{5.833} = 2.415$
art

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