द्विपद बंटन $B \left(4, \frac{1}{3}\right)$ का माध्य ज्ञात कीजिए।
example-34
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मान लें $x$ वह यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता बंटन $B \left(4, \frac{1}{3}\right)$ है। यहाँ $n = 4, p = \frac{1}{3}$ और $q = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$
हम जानते हैं कि $P(\mathrm{X}=x)={ }^{4} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{2}{3}\right)^{4-x}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}, x = 0, 1, 2, 3, 4$
अर्थात् $x$ का बंटन निम्नलिखित है
अब माध्य$ (\mu) = \sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} p\left(x_{i}\right)$
$= 0+{ }^{4} C_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)+2 \cdot{ }^{4} C_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+3 \cdot{ }^{4} C_{3}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+4 \cdot{ }^{4} C_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}$
$= 4 \times \frac{2^{3}}{3^{4}}+2 \times 6 \times \frac{2^{2}}{3^{4}}$$+3 \times 4 \times \frac{2}{3^{4}}+4 \times \frac{1}{3^{4}}$
$= \frac{32+48+24+4}{3^{4}} $
$= \frac{108}{81} $
$= \frac{4}{3}$
हम जानते हैं कि $P(\mathrm{X}=x)={ }^{4} \mathrm{C}_{x}\left(\frac{2}{3}\right)^{4-x}\left(\frac{1}{3}\right)^{x}, x = 0, 1, 2, 3, 4$
अर्थात् $x$ का बंटन निम्नलिखित है
| $x_i$ | $P(x_i)$ | $x_i P(x_i)$ |
|---|---|---|
| $0$ | $4C_0 (\frac{2}{3})^4$ | $0$ |
| $1$ | ${ }^{4} \mathrm{C}_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)$ | ${ }^{4} \mathrm{C}_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)$ |
| $2$ | ${ }^{4} \mathrm{C}_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$ | $2\left({ }^{4} C_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}\right)$ |
| $3$ | ${ }^{4} \mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{3}$ | $3\left({ }^{4} \mathrm{C}_{3}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{3}\right)$ |
| $4$ | ${ }^{4} \mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}$ | $4\left({ }^{4} \mathrm{C}_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}\right)$ |
$= 0+{ }^{4} C_{1}\left(\frac{2}{3}\right)^{3}\left(\frac{1}{3}\right)+2 \cdot{ }^{4} C_{2}\left(\frac{2}{3}\right)^{2}\left(\frac{1}{3}\right)^{2}+3 \cdot{ }^{4} C_{3}\left(\frac{2}{3}\right)\left(\frac{1}{3}\right)^{3}+4 \cdot{ }^{4} C_{4}\left(\frac{1}{3}\right)^{4}$
$= 4 \times \frac{2^{3}}{3^{4}}+2 \times 6 \times \frac{2^{2}}{3^{4}}$$+3 \times 4 \times \frac{2}{3^{4}}+4 \times \frac{1}{3^{4}}$
$= \frac{32+48+24+4}{3^{4}} $
$= \frac{108}{81} $
$= \frac{4}{3}$
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