ताश के 52 पत्तों की एक भली-भाँति फेंटी गई गड्डी में से दो पत्ते उत्तरोत्तर बिना प्रतिस्थापना के (या एक साथ) निकाले जाते हैं। बादशाहों की संख्या का माध्य, प्रसरण व मानक-विचलन ज्ञात कीजिए।
example-29
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मान लीजिए कि दो पत्ते निकालने में बादशाहों की संख्या को X से व्यक्त करते हैं। X एक यादृच्छिक चर है जो 0, 1 या 2 मान से सकता है।
अब P(X = 0) = P(कोई बादशाह नहीं) = $ \frac{{ }^{48} C_{2}}{{ }^{52} C_{2}}$ = $\frac{\frac{48 !}{2 !(48-2) !}}{\frac{52 !}{2 !(52-2) !}}$ = $\frac{48 \times 47}{52 \times 51}$ = $\frac{188}{221}$
P(X = 1) = P(एक बादशाह और एक बादशाह नहीं) = $\frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{1}{ }^{48} \mathrm{C}_{1}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{2}}$
= $\frac{4 \times 48 \times 2}{52 \times 51}$ = $\frac{32}{221}$
और P(X = 2) = P(दोनों बादशाह) = $\frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{2}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{2}}$ = $\frac{4 \times 3}{52 \times 51}$ = $\frac{1}{221}$
अतः X का प्रायिकता बंटन है:
अब P(X = 0) = P(कोई बादशाह नहीं) = $ \frac{{ }^{48} C_{2}}{{ }^{52} C_{2}}$ = $\frac{\frac{48 !}{2 !(48-2) !}}{\frac{52 !}{2 !(52-2) !}}$ = $\frac{48 \times 47}{52 \times 51}$ = $\frac{188}{221}$
P(X = 1) = P(एक बादशाह और एक बादशाह नहीं) = $\frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{1}{ }^{48} \mathrm{C}_{1}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{2}}$
= $\frac{4 \times 48 \times 2}{52 \times 51}$ = $\frac{32}{221}$
और P(X = 2) = P(दोनों बादशाह) = $\frac{{ }^{4} \mathrm{C}_{2}}{{ }^{52} \mathrm{C}_{2}}$ = $\frac{4 \times 3}{52 \times 51}$ = $\frac{1}{221}$
अतः X का प्रायिकता बंटन है:
| X | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| P(X) | $\frac{188}{221}$ | $\frac{32}{221}$ | $\frac{1}{221}$ |
अब माध्य X = E(X) = $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i} p\left(x_{i}\right)$
= 0$ \times \frac{188}{221}$$+1 \times \frac{32}{221}$$+2 \times \frac{1}{221}$=$\frac{34}{221}$
साथ ही $\mathrm{E}\left(\mathrm{X}^{2}\right)$ = $\sum \limits_{i=1}^{n} x_{i}^{2} p\left(x_{i}\right)$$=0^{2} \times \frac{188}{221}+1^{2}$$ \times \frac{32}{221}+2^{2} $$\times \frac{1}{221}=\frac{36}{221}$
अब Var(X) = E$\left(X^{2}\right)-[E(X)]^{2}$
= $\frac{36}{221}-\left(\frac{34}{221}\right)^{2}$$=\frac{6800}{(221)^{2}}$
इसलिए
$\sigma_{x}$= $\sqrt{\operatorname{Var}(\mathrm{X})}$$=\frac{\sqrt{6800}}{(221)}$ = 0.37 (लगभग)
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