दो दल एक निगम के निर्देशक मंडल में स्थान पाने की प्रतिस्पर्धा में हैं। पहले तथा दूसरे दल के जीतने की प्रायिकताएँ क्रमशः $0.6$ तथा $0.4$ हैं। इसके अतिरिक्त यदि पहला दल जीतता है तो एक नए उत्पाद के प्रारम्भ होने की प्रायिकता $0.7$ है और यदि दूसरा दल जीतता है, तो इस बात की संगत प्रायिकता $0.3$ है। इसकी प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि नया उत्पादन दूसरे दल द्वारा प्रारम्भ किया गया था।
Exercise-13.3-9
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मान लीजिए घटना $E_1$ 'पहले दल के जीतने' तथा घटना $E_2$ 'दूसरे दल के जीतने' निरूपित करता है।
तब, $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
$\therefore P \left(E_{1}\right) = 0.6 = \frac{6}{10}$ तथा $P\left(E_{2}\right) = 0.4 = \frac{4}{10}$
मान लीजिए घटना $E$ 'एक नए उत्पाद के उत्पादित होने' को दर्शाता है।
$P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($पहले दल के जीतने पर एक नए उत्पाद के उत्पादित होने की घटना है$) = 0.7 = \frac{7}{10}$
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दूसरे दल के जीतने पर एक नए उत्पाद के उत्पादित होने की घटना है$) = 0.3 = \frac{3}{10}$
दूसरे दल के जीतने पर नए उत्पाद के उत्पादित होने की प्रायिकता $P\left(\frac{E_{2}}{E}\right)$ है।
अतः बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P \left(\frac{E_{2}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$=\frac{\frac{3}{10} \times \frac{4}{10}}{10} $
$= \times \frac{6}{10}+\frac{3}{10} \times \frac{4}{10}$
$=\frac{12}{42+12}$
$= \frac{12}{54}$
$= \frac{2}{9}$
तब, $E_1$ तथा $E_2$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं।
$\therefore P \left(E_{1}\right) = 0.6 = \frac{6}{10}$ तथा $P\left(E_{2}\right) = 0.4 = \frac{4}{10}$
मान लीजिए घटना $E$ 'एक नए उत्पाद के उत्पादित होने' को दर्शाता है।
$P \left(\frac{E}{E_{1}}\right) = P($पहले दल के जीतने पर एक नए उत्पाद के उत्पादित होने की घटना है$) = 0.7 = \frac{7}{10}$
$\therefore P\left(\frac{E}{E_{2}}\right)= P($दूसरे दल के जीतने पर एक नए उत्पाद के उत्पादित होने की घटना है$) = 0.3 = \frac{3}{10}$
दूसरे दल के जीतने पर नए उत्पाद के उत्पादित होने की प्रायिकता $P\left(\frac{E_{2}}{E}\right)$ है।
अतः बेज प्रमेय के प्रयोग से,
$P \left(\frac{E_{2}}{E}\right)$
$= \frac{P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}{P\left(\frac{E}{E_{1}}\right) P\left(E_{1}\right)+P\left(\frac{E}{E_{2}}\right) P\left(E_{2}\right)}$
$=\frac{\frac{3}{10} \times \frac{4}{10}}{10} $
$= \times \frac{6}{10}+\frac{3}{10} \times \frac{4}{10}$
$=\frac{12}{42+12}$
$= \frac{12}{54}$
$= \frac{2}{9}$
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