एक बोल्ट बनाने के कारखाने में मशीनें $($यंत्र$) A, B$ और $C$ कुल उत्पादन का क्रमशः $25\%, 35 \%$ और $40\%$ बोल्ट बनाती हैं। इन मशीनों के उत्पादन का क्रमशः $5, 4,$ और $2$ प्रतिशत भाग खराब $($त्रुटिपूर्ण$)$ हैं। बोल्टों के कुल उत्पादन में से एक बोल्ट यादृच्छया निकाला जाता है और वह खराब पाया जाता है। इसकी क्या प्रायिकता है कि यह बोल्ट मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है?
example-19
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मान लिया कि घटनाएँ $B_1, B_2, B_3$ निम्न प्रकार है:
$B_1 :$ बोल्ट मशीन $A$ द्वारा बनाया गया है
$B_2 :$ बोल्ट मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है
$B_3 :$ बोल्ट मशीन $C$ द्वारा बनाया गया है
स्पष्ट है कि घटनाएँ $B_1, B_2, B_3$ परस्पर अपवर्जी और परिपूर्ण है। मान लिया कि घटना $E$ निम्न प्रकार है: $E$ बोल्ट खराब है।
घटना $E,$ घटनाओं $B_1$ या $B_2$ या $B_3$ के साथ घटित होती है। दिया है:
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) = 25\% = 0.25, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) = 0.35$ और $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right) = 0.40$
पुनः $ \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{1}\right) =$ बोल्ट के खराब होने की प्रायिकता जब कि दिया हो कि वह मशीन $B$ द्वारा निर्मित है
$= 5\% = 0.05$
इसी प्रकार $\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right) = 0.04, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{3}\right) = 0.02$
बेज़$-$प्रमेय द्वारा हमें ज्ञात है कि $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2} \mid \mathrm{E}\right) $
$= \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E}+\mid \mathrm{B}_{3}\right)}$
$= \frac{0.35 \times 0.04}{0.25 \times 0.05+0.35 \times 0.04+0.40 \times 0.02}$
$=\frac{0.0140}{0.0345}$
$=\frac{28}{69}$
$B_1 :$ बोल्ट मशीन $A$ द्वारा बनाया गया है
$B_2 :$ बोल्ट मशीन $B$ द्वारा बनाया गया है
$B_3 :$ बोल्ट मशीन $C$ द्वारा बनाया गया है
स्पष्ट है कि घटनाएँ $B_1, B_2, B_3$ परस्पर अपवर्जी और परिपूर्ण है। मान लिया कि घटना $E$ निम्न प्रकार है: $E$ बोल्ट खराब है।
घटना $E,$ घटनाओं $B_1$ या $B_2$ या $B_3$ के साथ घटित होती है। दिया है:
$\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) = 25\% = 0.25, \mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) = 0.35$ और $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right) = 0.40$
पुनः $ \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{1}\right) =$ बोल्ट के खराब होने की प्रायिकता जब कि दिया हो कि वह मशीन $B$ द्वारा निर्मित है
$= 5\% = 0.05$
इसी प्रकार $\mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right) = 0.04, \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{3}\right) = 0.02$
बेज़$-$प्रमेय द्वारा हमें ज्ञात है कि $\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2} \mid \mathrm{E}\right) $
$= \frac{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right)}{\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{1}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{1}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{2}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E} \mid \mathrm{B}_{2}\right)+\mathrm{P}\left(\mathrm{B}_{3}\right) \mathrm{P}\left(\mathrm{E}+\mid \mathrm{B}_{3}\right)}$
$= \frac{0.35 \times 0.04}{0.25 \times 0.05+0.35 \times 0.04+0.40 \times 0.02}$
$=\frac{0.0140}{0.0345}$
$=\frac{28}{69}$
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