A और B बारी-बारी से एक पासे को उछालते हैं जब तक कि उनमें से कोई एक पासे पर छः प्राप्त कर खेल को जीत नहीं लेता। यदि A खेल को शुरू करें तो उनके जीतने की क्रमशः प्रायिकता ज्ञात कीजिए।
example-36
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मान लीजिए S सफलता (पासे पर 6 प्रकट होना) को और F असफलता (पासे पर 6 प्रकट न होना) को व्यक्त करते हैं।
अतः $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{1}{6}, \mathrm{P}(\mathrm{F})$ = $\frac{5}{6}$
$\mathrm{P}(\mathrm{A}$ के पहली उछाल में जीतना) = $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{1}{6}$
A को तीसरी उछाल का अवसर तब मिलता है जब A पहली उछाल में और B दूसरी उछाल में असफल होते हैं। इसलिए
$\mathrm{P}(\mathrm{A}$का तीसरी उछाल में जीतना) = $ \mathrm{P}(\mathrm{FFS})$ = $\mathrm{P}(\mathrm{F}) \mathrm{P}(\mathrm{F}) \mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{2} \times \frac{1}{6}$
इसी प्रकार P(A का पाँचवीं उछाल में जीतना) = $\mathrm{P}( FFFFS )$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\left(\frac{1}{6}\right)$
और इसी प्रकार अन्य अतः P(A जीतना) = $ \frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\left(\frac{1}{6}\right)$$+\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\left(\frac{1}{6}\right)$ +...
= $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1-25}{36}}=\frac{6}{11}$
$\mathrm{P}(\mathrm{B}$ जीतना) = 1 - P(A जीतना) = 1 - $\frac{6}{11}$= $\frac{5}{11}$
अतः $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{1}{6}, \mathrm{P}(\mathrm{F})$ = $\frac{5}{6}$
$\mathrm{P}(\mathrm{A}$ के पहली उछाल में जीतना) = $\mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{1}{6}$
A को तीसरी उछाल का अवसर तब मिलता है जब A पहली उछाल में और B दूसरी उछाल में असफल होते हैं। इसलिए
$\mathrm{P}(\mathrm{A}$का तीसरी उछाल में जीतना) = $ \mathrm{P}(\mathrm{FFS})$ = $\mathrm{P}(\mathrm{F}) \mathrm{P}(\mathrm{F}) \mathrm{P}(\mathrm{S})$ = $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6}$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{2} \times \frac{1}{6}$
इसी प्रकार P(A का पाँचवीं उछाल में जीतना) = $\mathrm{P}( FFFFS )$ = $\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\left(\frac{1}{6}\right)$
और इसी प्रकार अन्य अतः P(A जीतना) = $ \frac{1}{6}+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}\left(\frac{1}{6}\right)$$+\left(\frac{5}{6}\right)^{4}\left(\frac{1}{6}\right)$ +...
= $\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1-25}{36}}=\frac{6}{11}$
$\mathrm{P}(\mathrm{B}$ जीतना) = 1 - P(A जीतना) = 1 - $\frac{6}{11}$= $\frac{5}{11}$
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