a * b = |a - b| तथा a o b = a, $\forall$ a, b $\in$ R द्वारा परिभाषित द्विआधारी संक्रियाओं *: R $\times$ R $ \rightarrow $ R तथा o : R $\times$ R $\rightarrow $ R पर विचार कीजिए। सिद्ध कीजिए कि * क्रमविनिमेय है परंतु साहचर्य नहीं है, o साहचर्य है परंतु क्रमविनिमेय नहीं है। पुनः सिद्ध कीजिए कि सभी a, b, c $\in $ R के लिए a * (b o c) = (a * b) o (a * c) है। [यदि ऐसा होता है, तो हम कहते हैं कि संक्रिया * संक्रिया o पर वितरित (Distributes) होती है।] क्या o संक्रिया * पर वितरित होती है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Miscellaneous Exercise-12
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हल द्विआधारी संक्रियाएँ *:, R $ \times$ R $ \rightarrow$ R
तथा o : R $ \times$ R$ \rightarrow$ R क्रमशः a * b = |a - b|, $\forall$ a, b $\in$ R
तथा a o b = a, $\forall$ a, b $\in$ R द्वारा परिभाषित है।
चूँकि प्रत्येक a, b $\in$ R के लिए.
a * b = |a - b| = |b - a| = b * a $ \therefore$ a * b = b * a, $\forall$ a, b $\in$ R
$ \therefore$ द्विआधारी संक्रिया a * b = |a - b| एक द्विआधारी क्रमविनिमय संक्रिया है।
पुनः (1 * 2) * 3 = (|1 - 2|) * 3 = (|-1|) * 3 = 1 * 3 = |1 - 3| = |-2| = 2
तथा 1 *(2 * 3) = 1 * (|2 - 3|) = 1 * |-1| = 1 * 1 = |1 - 1| = 0
$ \therefore$ (1 * 2) * 3 $\neq$ 1 *(2 * 3)
$ \therefore$ द्विआधारी संक्रिया a * b = |a - b|, द्विआधारी साहचर्य नहीं है।
अब, 1o2 = 1 तथा 2o1 = 2
अतः 1o2 $\neq$ 2o1, जहाँ 1, 2 $ \in $ R
अतः द्विआधारी संक्रिया a o b = a, द्विआधारी क्रमविनिमय नहीं है।
पुनः मान लीजिए a, b, c $\in$ R, तब
(aob) oc = aoc = a
तथा ao(boc) = aob = a
$\therefore$ (aob) oc = ao(boc), $ \forall$ a, b, c $ \in$ R
अतः द्विआधारी संक्रिया aob = a, एक द्विआधारी साहचर्य संक्रिया है।
अब, मान लीजिए a, b, c $ \in$ R, तब a *(boc) = a * b = |a - b|
तथा (a * b) o (a * c) = (|a - b|) o(|a - c|) = |a - b|
$\therefore$ a*(boc) = (a * b)o(a * c)
अतः द्विआधारी संक्रिया *, द्विआधारी संक्रिया o पर वितरित हो जाती है।
पुनः 1o(2 * 3) = 1o(|2 - 3|) = 1o1 = 1
तथा (1o2) * (1o3) = 1 * 1 = |1 - 1| = 0
$\therefore$ 10(2 * 3) $\neq$ (1o2) *(1o3)
जहाँ 1, 2, 3 $\in $ R
अतः द्विआधारी संक्रिया o, द्विआधारी संक्रिया * पर वितरित नहीं होती है।
तथा o : R $ \times$ R$ \rightarrow$ R क्रमशः a * b = |a - b|, $\forall$ a, b $\in$ R
तथा a o b = a, $\forall$ a, b $\in$ R द्वारा परिभाषित है।
चूँकि प्रत्येक a, b $\in$ R के लिए.
a * b = |a - b| = |b - a| = b * a $ \therefore$ a * b = b * a, $\forall$ a, b $\in$ R
$ \therefore$ द्विआधारी संक्रिया a * b = |a - b| एक द्विआधारी क्रमविनिमय संक्रिया है।
पुनः (1 * 2) * 3 = (|1 - 2|) * 3 = (|-1|) * 3 = 1 * 3 = |1 - 3| = |-2| = 2
तथा 1 *(2 * 3) = 1 * (|2 - 3|) = 1 * |-1| = 1 * 1 = |1 - 1| = 0
$ \therefore$ (1 * 2) * 3 $\neq$ 1 *(2 * 3)
$ \therefore$ द्विआधारी संक्रिया a * b = |a - b|, द्विआधारी साहचर्य नहीं है।
अब, 1o2 = 1 तथा 2o1 = 2
अतः 1o2 $\neq$ 2o1, जहाँ 1, 2 $ \in $ R
अतः द्विआधारी संक्रिया a o b = a, द्विआधारी क्रमविनिमय नहीं है।
पुनः मान लीजिए a, b, c $\in$ R, तब
(aob) oc = aoc = a
तथा ao(boc) = aob = a
$\therefore$ (aob) oc = ao(boc), $ \forall$ a, b, c $ \in$ R
अतः द्विआधारी संक्रिया aob = a, एक द्विआधारी साहचर्य संक्रिया है।
अब, मान लीजिए a, b, c $ \in$ R, तब a *(boc) = a * b = |a - b|
तथा (a * b) o (a * c) = (|a - b|) o(|a - c|) = |a - b|
$\therefore$ a*(boc) = (a * b)o(a * c)
अतः द्विआधारी संक्रिया *, द्विआधारी संक्रिया o पर वितरित हो जाती है।
पुनः 1o(2 * 3) = 1o(|2 - 3|) = 1o1 = 1
तथा (1o2) * (1o3) = 1 * 1 = |1 - 1| = 0
$\therefore$ 10(2 * 3) $\neq$ (1o2) *(1o3)
जहाँ 1, 2, 3 $\in $ R
अतः द्विआधारी संक्रिया o, द्विआधारी संक्रिया * पर वितरित नहीं होती है।
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