मान लीजिए कि $XY-$तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है और $L$ में $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{L}_{1}, \mathrm{~L}_{2}\right)\right.: \mathrm{L}_{1}$ समान्तर है $L_2$ के द्वारा परिभाषित संबंध R है। सिद्ध कीजिए कि $R$ एक तुल्यता संबंध है। रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित समस्त रेखाओं का समुच्चय ज्ञात कीजिए।
Exercise-1.1-14
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दिया है,$ A = XY -$ तल में स्थित समस्त रेखाओं का समुच्चय $L$ है।
तथा $R = {(L_1, L_2): L_1}$ समान्तर है $L_2$ के
चूँकि प्रत्येक रेखा अपने के समान्तर होती है। अतः प्रत्येक $L \in A$ के लिए $(L, L) \in R$ अतः $R,$ एक स्वतुल्य संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(L_1, L_2) \in R, \forall L_1, L_2 \in A$
$\Rightarrow L_1, L_2$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow L_2, L_1$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow (L_2, L_1) \in R, \forall L_1, L_2 \in A$
अतः $R,$ एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(L_1, L_2), (L_2, L_3) \in R$
$\Rightarrow L_1, L_2$ समान्तर रेखाएँ हैं तथा $L_2, L_3$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow L_1$ तथा $L_3$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow (L_1, L_3) \in R, \forall L_1, L_2, L_3 \in R$
$\Rightarrow R$, एक संक्रमक संबंध है। इसलिए $R,$ एक तुल्यता संबंध है।
अब, रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाओं के समुच्चय में वह रेखाएँ होंगी, जो $y = 2x + 4$ के समान्तर होंगी। लेकिन रेखा $y = 2x + 4$ की प्रवणता $2$ है। अतः रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाएँ $y = 2x + c$ के रूप की होगी जहाँ $c$ एक अचर है।
तथा $R = {(L_1, L_2): L_1}$ समान्तर है $L_2$ के
चूँकि प्रत्येक रेखा अपने के समान्तर होती है। अतः प्रत्येक $L \in A$ के लिए $(L, L) \in R$ अतः $R,$ एक स्वतुल्य संबंध है।
पुनः मान लीजिए $(L_1, L_2) \in R, \forall L_1, L_2 \in A$
$\Rightarrow L_1, L_2$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow L_2, L_1$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow (L_2, L_1) \in R, \forall L_1, L_2 \in A$
अतः $R,$ एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(L_1, L_2), (L_2, L_3) \in R$
$\Rightarrow L_1, L_2$ समान्तर रेखाएँ हैं तथा $L_2, L_3$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow L_1$ तथा $L_3$ समान्तर रेखाएँ हैं।
$\Rightarrow (L_1, L_3) \in R, \forall L_1, L_2, L_3 \in R$
$\Rightarrow R$, एक संक्रमक संबंध है। इसलिए $R,$ एक तुल्यता संबंध है।
अब, रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाओं के समुच्चय में वह रेखाएँ होंगी, जो $y = 2x + 4$ के समान्तर होंगी। लेकिन रेखा $y = 2x + 4$ की प्रवणता $2$ है। अतः रेखा $y = 2x + 4$ से संबंधित रेखाएँ $y = 2x + c$ के रूप की होगी जहाँ $c$ एक अचर है।
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