सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right): \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right.$ के समरूप है द्वारा परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3, 4, 5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_1,$ भुजाओं $5, 12, 13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_2$ तथा भुजाओं $6, 8, 10$ वाले समकोण त्रिभुज $T_3$ पर विचार कीजिए। $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ और $T_{3 }$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?
Exercise-1.1-12
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दिया है, $A =$ समस्त त्रिभुजों का समुच्चय, $R = (T_1, T_2): T_1,T_{2 }$ के समरूप है
चूँकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है। अतः $R$ स्वतुल्य संबंध है। पुनः मान लीजिए $(T_1, T_2) \in R$
$\Rightarrow T_1, T_2$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow T_2, T_1$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow (T_2, T_1) \in R, \forall T_1, T_2 \in A$
$\Rightarrow R$, एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(T_1, T_2), (T_2, T_3) \in R$
$\Rightarrow T_1, T_2$ समरूप त्रिभुज हैं तथा $T_2, T_3$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow T_2, T_3$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow (T_1, T_3) \in R, \forall T_1, T_3 \in A$
$\Rightarrow R,$ एक संक्रमक संबंध है।
इसलिए $R$ एक तुल्यता संबंध है। अब, चूँकि$ \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)$
अतः त्रिभुजों $T_1$ तथा $T_{3 }$ की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं। अतः त्रिभुज $T_1,$ त्रिभुज $T_3$ के समरूप है।
अतः त्रिभुज $T_1,$ त्रिभुज $T_3$ से संबंधित है।
चूँकि प्रत्येक त्रिभुज स्वयं के समरूप होता है। अतः $R$ स्वतुल्य संबंध है। पुनः मान लीजिए $(T_1, T_2) \in R$
$\Rightarrow T_1, T_2$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow T_2, T_1$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow (T_2, T_1) \in R, \forall T_1, T_2 \in A$
$\Rightarrow R$, एक सममित संबंध है। पुनः मान लीजिए $(T_1, T_2), (T_2, T_3) \in R$
$\Rightarrow T_1, T_2$ समरूप त्रिभुज हैं तथा $T_2, T_3$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow T_2, T_3$ समरूप त्रिभुज हैं।
$\Rightarrow (T_1, T_3) \in R, \forall T_1, T_3 \in A$
$\Rightarrow R,$ एक संक्रमक संबंध है।
इसलिए $R$ एक तुल्यता संबंध है। अब, चूँकि$ \frac{3}{6} = \frac{4}{8} = \frac{5}{10} = \left(\frac{1}{2}\right)$
अतः त्रिभुजों $T_1$ तथा $T_{3 }$ की संगत भुजाएँ समान अनुपात में हैं। अतः त्रिभुज $T_1,$ त्रिभुज $T_3$ के समरूप है।
अतः त्रिभुज $T_1,$ त्रिभुज $T_3$ से संबंधित है।
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