निम्नलिखित प्रकार से समुच्चय $\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$ में एक द्विआधारी संक्रिया $^*$ परिभाषित कीजिए
सिद्ध कीजिए कि शून्य $(0)$ इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq0$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $6 - a, a$ का प्रतिलोम है।
सिद्ध कीजिए कि शून्य $(0)$ इस संक्रिया का तत्समक है तथा समुच्चय का प्रत्येक अवयव $a \neq0$ व्युत्क्रमणीय है, इस प्रकार कि $6 - a, a$ का प्रतिलोम है।
Miscellaneous Exercise-14
Download our app for free and get started
मान लीजिए $X= \{0,1,2,3,4,5\}$ तथा $X$ पर द्विआधारी संक्रिया $^*,$
द्वारा परिभाषित है।
एक अवयव $e \in X$ तत्समक होगा।
यदि $a\ ^*\ e = e\ ^*\ a = a, \forall a \in X$
अब, हम जानते हैं कि
$a\ ^*\ 0 = a + 0 = a (\because a \in X \Rightarrow a + 0 < 6)$
तथा $0\ ^*\ a = 0 + a = a (\because a \in X \Rightarrow 0 + a < 6)$
$\therefore a\ ^*\ 0 = 0\ ^*\ a, = a, \forall a \in X$
अतः द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए $'0\ '$ तत्समक अवयव है।
एक अवयव $a \in X$ प्रतिलोमी होगा, यदि $X$ में एक अवयव $b \in X$ इस प्रकार विद्यमान हो कि
$a * b = b * a = 0$
अर्थात्
अथात् $a = -b$ या $b = 6 - a$
लेकिन $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ तथा $a, b \in X$
तब, $a \neq -b$
अतः $b = 6 - a, a$ का प्रतिलोम है।
अतः $a \neq X$ का प्रतिलोम $6 - a$ है, जहाँ $a \neq 0$ अर्थात् $a^{-1} = 6 - a$
द्वारा परिभाषित है।
एक अवयव $e \in X$ तत्समक होगा।
यदि $a\ ^*\ e = e\ ^*\ a = a, \forall a \in X$
अब, हम जानते हैं कि
$a\ ^*\ 0 = a + 0 = a (\because a \in X \Rightarrow a + 0 < 6)$
तथा $0\ ^*\ a = 0 + a = a (\because a \in X \Rightarrow 0 + a < 6)$
$\therefore a\ ^*\ 0 = 0\ ^*\ a, = a, \forall a \in X$
अतः द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए $'0\ '$ तत्समक अवयव है।
एक अवयव $a \in X$ प्रतिलोमी होगा, यदि $X$ में एक अवयव $b \in X$ इस प्रकार विद्यमान हो कि
$a * b = b * a = 0$
अर्थात्
अथात् $a = -b$ या $b = 6 - a$
लेकिन $X = \{1, 2, 3, 4, 5\}$ तथा $a, b \in X$
तब, $a \neq -b$
अतः $b = 6 - a, a$ का प्रतिलोम है।
अतः $a \neq X$ का प्रतिलोम $6 - a$ है, जहाँ $a \neq 0$ अर्थात् $a^{-1} = 6 - a$
Download our appand get started for free
Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Similar Questions
- 1View Solutionसिद्ध कीजिए कि A = {1, 2, 3, 4, 5} में, R = {(a, b) : |a - b| सम है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। प्रमाणित कीजिए कि {1, 3, 5} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं और समुच्चय {2, 4} के सभी अवयव एक दूसरे से संबंधित हैं परंतु {1, 3, 5} का कोई भी अवयव {2, 4} के किसी अवयव से संबंधित नहीं है।
- 2जाँच कीजिए कि क्या R में $ \mathrm{R}=\left\{(a, b): a \leq b^{3}\right\}$ द्वारा परिभाषित संबंध स्वतुल्य, सममित अथवा संक्रामक है?View Solution
- 3सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, R = {(P, Q): बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P $\neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।View Solution
- 4मान लीजिए कि $\mathrm{A}=\mathbf{R}-\{3\}$ तथा $\mathrm{B}=\mathbf{R}-\{1\}$ हैं। $f(x)=\left(\frac{x-2}{x-3}\right)$ द्वारा परिभाषित फलन $f: \mathrm{A} \rightarrow \mathrm{B}$ पर विचार कीजिए। क्या f एकैकी तथा आच्छादक है? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।View Solution
- 5जाँच कीजिए कि क्या समुच्चय {1, 2, 3, 4, 5, 6} में $\mathrm{R}=\{(a, b): b=a+1\}$ द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य, सममित या संक्रामक है।View Solution
- 6View Solutionसिद्ध कीजिए कि समुच्चय {1, 2, 3} में R = {(1, 2), (2, 1)} द्वारा प्रदत्त संबंध R सममित है किंतु न तो स्वतुल्य है और न संक्रामक है।
- 7View Solutionसिद्ध कीजिए कि किसी कॉलेज के पुस्तकालय की समस्त पुस्तकों के समुच्चय A में R = {(x, y): x तथा y में पेजों की संख्या समान है} द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है।
- 8सिद्ध किजिए कि समुच्चय $\mathrm{A}=\{x \in \mathbf{Z}: 0 \leq x \leq 12\}$, में दिए गए निम्नलिखित संबंधों R में से प्रत्येक एक तुल्यता संबंध है:View Solution
- R = {(a, b) : |a - b|, 4 का एक गुणज है},
- R = {(a, b) : a = b},
प्रत्येक दशा में 1 से संबंधित अवयवों को ज्ञात कीजिए।
- 9एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए:View Solution
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A $\subset$ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए। - 10सिद्ध कीजिए कि समस्त त्रिभुजों के समुच्चय $A$ में, $\mathrm{R}=\left\{\left(\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right): \mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}\right.$ के समरूप है द्वारा परिभाषित संबंध $R$ एक तुल्यता संबंध है। भुजाओं $3, 4, 5$ वाले समकोण त्रिभुज $T_1,$ भुजाओं $5, 12, 13$ वाले समकोण त्रिभुज $T_2$ तथा भुजाओं $6, 8, 10$ वाले समकोण त्रिभुज $T_3$ पर विचार कीजिए। $\mathrm{T}_{1}, \mathrm{~T}_{2}$ और $T_{3 }$ में से कौन से त्रिभुज परस्पर संबंधित हैं?View Solution