सिद्ध कीजिए कि किसी समतल में स्थित बिंदुओं के समुच्चय में, R = {(P, Q): बिंदु P की मूल बिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूल बिंदु से दूरी के समान है द्वारा प्रदत्त संबंध R एक तुल्यता संबंध है। पुनः सिद्ध कीजिए कि बिंदु P $\neq(0,0)$ से संबंधित सभी बिंदुओं का समुच्चय P से होकर जाने वाले एक ऐसे वृत्त को निरूपित करता है, जिसका केंद्र मूलबिंदु पर है।

Question

Exercise-1.1-11

Download our app for free and get started

Solution

R = {(P, Q) : बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूलबिंदु से दूरी के समान है}
चूँकि किसी बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी, बिन्दु P की मूलबिंदु से दूरी के बराबर होती है। अतः (P, P$) \in R, \forall P \in$ A, अतः R, स्वतुल्य संबंध है। अब मान लीजिए (P, Q) $\in R$
$\Rightarrow$ बिन्दु P की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow $ बिंदु Q की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow $ $(Q, P) \in R, \forall P, Q \in A $ अतः R, एक सममित संबंध है।
पुनः मान लीजिए
$(P, Q),(Q, S) \in P$
$\Rightarrow$ बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु Q की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है तथा बिंदु Q की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु S की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow$ बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी, बिंदु S की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है।
$\Rightarrow$ $(P, S) \in R$
अतः R एक संक्रमक संबंध है। अतः R, एक तुल्यता संबंध है। अब, बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित वह बिंदु हो, जिनकी मूलबिंदु से दूरी, बिंदु P की मूलबिंदु से दूरी के बराबर है अर्थात् यदि O(0, 0) मूलबिंदु है तथा OP = k, जहाँ k एक अचर है, तब बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित बिंदु, मूलबिंदु से अचर k दूरी पर होंगे। अतः बिंदु $P \neq(0,0)$ से संबंधित बिंदुओं का समुच्चय एक वृत्त है जिसका केन्द्र मूलबिंदु तथा यह वृत्त बिंदु P से होकर जाता है।

Download our app
and get started for free

Similar Questions

Download our appand get started for free

Similar Questions

Download our app
and get started for free