मान लीजिए कि $A = {-1, 0, 1, 2}, B = {- 4, -2, 0, 2}$ और $f, g : A \rightarrow B,$ क्रमशः $f(x) = x^2- x, x \in A$ तथा $g(x) = 2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1, x \in A$ द्वारा परिभाषित फलन हैं। क्या $f$ तथा $g$ समान हैं? अपने उत्तर का औचित्य भी बतलाइए।
Miscellaneous Exercise-15
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दिया है, $A = {- 1, 0, 1, 2}$
तथा $B = {- 4, - 2, 0, 2}$
अब, $f, g : A \rightarrow B$ क्रमशः $f(x) = x^2 - x, x \in A$
तथा $g(x) = 2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1, x \in A$
द्वारा परिभाषित फलन हैं।
चूँकि $f(- 1) = (- 1)^2- (- 1) = 1 + 1 = 2$
तथा $g(-1) = 2\left|(-1)-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2 \Rightarrow f(- 1) = g(-1)$
पुनः $f(0) = (0)^2- 0 = 0$
तथा $g(0) = 2 \left|0-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
$\Rightarrow f(0) = g (0)$
पुनः $f(1) = (1)^2- 1 = 1 - 1 = 0$
$\Rightarrow f(0) = g(0)$
पुनः $f(1) = (1)^2- 1 = 1 - 1 = 0$
तथा $g(1) = 2 \left|1-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 \Rightarrow f(1) = g(1)$
पुनः $f(2) = (2)^2- 2 = 4 - 2 = 2$
तथा $g(2) = 2\left|2-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{3}{2}\right)- 1 = 3 - 1 = 2 \Rightarrow f(2) = g(2)$
$\therefore f(a) = g(a), \forall a \in A$ अतः $f$ तथा $g$ समान हैं।
तथा $B = {- 4, - 2, 0, 2}$
अब, $f, g : A \rightarrow B$ क्रमशः $f(x) = x^2 - x, x \in A$
तथा $g(x) = 2\left|x-\frac{1}{2}\right|-1, x \in A$
द्वारा परिभाषित फलन हैं।
चूँकि $f(- 1) = (- 1)^2- (- 1) = 1 + 1 = 2$
तथा $g(-1) = 2\left|(-1)-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2\left(\frac{3}{2}\right) - 1 = 3 - 1 = 2 \Rightarrow f(- 1) = g(-1)$
पुनः $f(0) = (0)^2- 0 = 0$
तथा $g(0) = 2 \left|0-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0$
$\Rightarrow f(0) = g (0)$
पुनः $f(1) = (1)^2- 1 = 1 - 1 = 0$
$\Rightarrow f(0) = g(0)$
पुनः $f(1) = (1)^2- 1 = 1 - 1 = 0$
तथा $g(1) = 2 \left|1-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{1}{2}\right) - 1 = 1 - 1 = 0 \Rightarrow f(1) = g(1)$
पुनः $f(2) = (2)^2- 2 = 4 - 2 = 2$
तथा $g(2) = 2\left|2-\frac{1}{2}\right| - 1 = 2 \left(\frac{3}{2}\right)- 1 = 3 - 1 = 2 \Rightarrow f(2) = g(2)$
$\therefore f(a) = g(a), \forall a \in A$ अतः $f$ तथा $g$ समान हैं।
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