सिद्ध कीजिए कि R में $\mathrm{R}=\{(a, b): a \leq b\}$, द्वारा परिभाषित संबंध R स्वतुल्य तथा संक्रामक है किंतु सममित नहीं है।
Exercise-1.1-4
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A = R = वास्तविक संख्याओं का समुच्चय तथा $R=\{(a, b): a \leq b\}$
स्वतुल्य संबंध के लिए, चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या अपने से छोटी या अपने बराबर हो सकती है।
$\therefore (x, x) \in R, \forall x \in A$ अतः R, स्वतुल्य संबंध है।
सममित संबंध के लिए, चूँकि 2, 3 से छोटी वास्तविक संख्या है।
$\therefore (2,3) \in R$ लेकिन 3, 2 से छोटी वास्तविक संख्या नहीं है।
$(3,2) \notin R$ अतः R सममित संबंध नहीं है।
संक्रमक संबंध के लिए, मान लीजिए (a, b)$\in R$ तथा (b, c)$\in R$
$\Rightarrow a \leq b$ तथा $ b \leq c$
$\Rightarrow a \leq c \Rightarrow(a, c) \in R$ अतः R संक्रमक संबंध है।
इसलिए, R, स्वतुल्य तथा संक्रमक संबंध है लेकिन सममित संबंध नही है।
स्वतुल्य संबंध के लिए, चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या अपने से छोटी या अपने बराबर हो सकती है।
$\therefore (x, x) \in R, \forall x \in A$ अतः R, स्वतुल्य संबंध है।
सममित संबंध के लिए, चूँकि 2, 3 से छोटी वास्तविक संख्या है।
$\therefore (2,3) \in R$ लेकिन 3, 2 से छोटी वास्तविक संख्या नहीं है।
$(3,2) \notin R$ अतः R सममित संबंध नहीं है।
संक्रमक संबंध के लिए, मान लीजिए (a, b)$\in R$ तथा (b, c)$\in R$
$\Rightarrow a \leq b$ तथा $ b \leq c$
$\Rightarrow a \leq c \Rightarrow(a, c) \in R$ अतः R संक्रमक संबंध है।
इसलिए, R, स्वतुल्य तथा संक्रमक संबंध है लेकिन सममित संबंध नही है।
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