एक अरिक्त समुच्चय X दिया हुआ है। P(X) जो कि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है, पर विचार कीजिए। निम्नलिखित तरह से P(X) में एक संबंध R परिभाषित कीजिए:
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A $\subset$ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A $\subset$ B है। क्या R, P(X) में एक तुल्यता संबंध है? अपने उत्तर का औचित्य भी लिखिए।
Miscellaneous Exercise-8
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हल दिया है, समुच्चय P(X), जोकि X के समस्त उपसमुच्चयों का समुच्चय है तथा P(X) में एक संबंध R इस प्रकार परिभाषित है कि P(X) में उपसमुच्चयों A, B के लिए, ARB, यदि और केवल यदि A $\subset$ B है।
चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्यय होता है। अतः प्रत्येक A $\in$ P(X) के लिए ARA प्राप्त होता है। अतः R स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए A = {1, 2} तथा B = {1, 2, 3} है, तब B, A से संबंधित नहीं होगा। अतः R सममित समुच्चय नहीं है।
पुनः मान लीजिए ARB तथा BRC है।
तब, A $\subset$ B तथा B $\subset$ C
$\Rightarrow $ A $\subset$ C
अतः ARC प्राप्त होता है। अतः R संक्रमक संबंध है। इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है क्योंकि R सममित संबंध नहीं है।
चूँकि प्रत्येक समुच्चय स्वयं का उपसमुच्यय होता है। अतः प्रत्येक A $\in$ P(X) के लिए ARA प्राप्त होता है। अतः R स्वतुल्य संबंध है। अब, मान लीजिए A = {1, 2} तथा B = {1, 2, 3} है, तब B, A से संबंधित नहीं होगा। अतः R सममित समुच्चय नहीं है।
पुनः मान लीजिए ARB तथा BRC है।
तब, A $\subset$ B तथा B $\subset$ C
$\Rightarrow $ A $\subset$ C
अतः ARC प्राप्त होता है। अतः R संक्रमक संबंध है। इसलिए तुल्यता संबंध नहीं है क्योंकि R सममित संबंध नहीं है।
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