(आहार समस्या) एक आहारविद् दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अंतर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्र के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतर्विष्ट है। आहार में कम से कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह तत्व के कम से कम 460 मात्रक, और कोलेस्ट्रोल के अधिक से अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं। प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग किया जाए ताकि आहार में विटामिन A की मात्रा का न्यूनतम किया जा सके।
example-9
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माना कि भोज्यों P और Q के पैकेटों की संख्या क्रमशः x और y है। स्पष्टतः x $\geq$ 0, y $\geq$ 0.
प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
12x + 3y $\geq$ 240 (कैल्शियम का व्यवरोध) अर्थात् 4x + y $\geq$ 80 ...(i)
4x + 20y $\geq$ 460 (लौह तत्व का व्यवरोध) अर्थात् x + 5y $\geq$ 115 ...(ii)
6x + 4y $\leq$ 300 (कोलेस्ट्रोल का व्यवरोध) अर्थात् 3x + 2y $\leq$ 150 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0; x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
Z = 6x + 3y (विटामिन A) का न्यूनतमीकरण कीजिए।
असमीकरणों (i) से (iv) तक का आलेखन व्यवरोधों (i) से (iv) तक के अंतर्गत आकृति में दर्शाया गया है। उसमें सुनिश्चित सुंसगत क्षेत्र (छायांकित) पर ध्यान दीजिए जो परिबद्ध है।
कोनीय बिंदुओं L, M और N के निर्देशांक क्रमशः (2, 72), (15, 20) और (40, 15) हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्नलिखित सारणी में दिया गया है।
प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्न है
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
12x + 3y $\geq$ 240 (कैल्शियम का व्यवरोध) अर्थात् 4x + y $\geq$ 80 ...(i)
4x + 20y $\geq$ 460 (लौह तत्व का व्यवरोध) अर्थात् x + 5y $\geq$ 115 ...(ii)
6x + 4y $\leq$ 300 (कोलेस्ट्रोल का व्यवरोध) अर्थात् 3x + 2y $\leq$ 150 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0; x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
Z = 6x + 3y (विटामिन A) का न्यूनतमीकरण कीजिए।
असमीकरणों (i) से (iv) तक का आलेखन व्यवरोधों (i) से (iv) तक के अंतर्गत आकृति में दर्शाया गया है। उसमें सुनिश्चित सुंसगत क्षेत्र (छायांकित) पर ध्यान दीजिए जो परिबद्ध है।
कोनीय बिंदुओं L, M और N के निर्देशांक क्रमशः (2, 72), (15, 20) और (40, 15) हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्नलिखित सारणी में दिया गया है।
| कोनीय बिंदु (शीर्ष) | Z = 6x + 3y |
| (2, 72) | 228 |
| (15, 20) | 150 $\leftarrow$ न्यूनतम |
| (40, 15) | 285 |
सारणी से, हम Z का मान बिंदु (15, 20) पर न्यूनतम पाते हैं। अतः समस्या में प्रदत्त व्यवरोधों के आधीन विटामिन A का मान न्यूनतम तब होगा जबकि भोज्य P के 15 पैकेट और भोज्य Q के 20 पैकेट का उपयोग विशेष आहार के प्रबंध में किया जाय। विटामिन A का न्यूनतम मान 150 मात्र का होगा।
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