एक हवाई जहाज अधिकतम 200 यात्रियों को यात्रा करा सकता है। प्रत्येक प्रथम श्रेणी के टिकट पर ₹1000 और सस्ते श्रेणी के टिकट पर ₹600 का लाभ कमाया जा सकता है। एयरलाइन कम से कम 20 सीटें प्रथम श्रेणी के लिए आरक्षित करती है। तथापि प्रथम श्रेणी की अपेक्षा कम से कम 4 गुने यात्री सस्ती श्रेणी के टिकट से यात्रा करने को वरीयता देते हैं। ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने टिकट बेचे जाएँ ताकि लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ कितना है?
Miscellaneous Exercise-5
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मान लीजिए प्रथम श्रेणी के x यात्री तथा द्वितीय श्रेणी के y यात्री है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| श्रेणी | टिकटों की संख्या | लागत (₹ में) |
| प्रथम श्रेणी | x | 1000x |
| द्वितीय श्रेणी | y | 600y |
| कुल | x + y | 1000x + 600y |
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 1000x + 600y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + y $\leq$ 200 ...(ii)
x $\geq$ 20 ...(iii)
y - 4x $\geq$ 0 $\Leftrightarrow$ y $\geq$ 4x ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम रेखा x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 200 |
| y | 200 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा y = 4x का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 20 |
| y | 0 | 80 |
(10, 0) असमिका y $\geq$ 4x में रखने पर,
0 $\geq$ 4 $\times$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 40 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\geq$ 20 में रखने पर, 0 $\geq$ 20 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
समीकरणों को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) प्राप्त होते है, अतः सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिन्दु A(20, 80), B(40, 160) तथा C(20, 180) है। इन शीर्ष बिन्दुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिन्दु | 1000x + 600y |
| A(20, 80) | 68000 |
| B(40, 160) | 136000 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(20, 180) | 128000 |
अतः Z का अधिकतम मान बिंदु B(40, 160) पर 136000 प्राप्त होता है। अतः अधिकतम लागत ₹136000 प्राप्त करने के लिए प्रथम श्रेणी के 40 टिकट तथा सस्ती श्रेणी के 160 टिकटों की आवश्यकता होगी।
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यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
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