दो प्रकार के उर्वरक $F_1$ और $F_2$ है। $F_1$ में $10\%$ नाइट्रोजन और $6\%$ फास्फोरिक अम्ल है। तथा $F_2$ में $5\%$ नाइट्रोजन तथा $10\%$ फास्फोरिक अम्ल है। मिट्टी की स्थितिओं का परीक्षण करने के पश्चात् एक किसान पाता है कि उसे अपनी फसल के लिए $14 \ kg$ नाइट्रोजन और $14 \ kg$ फास्फोरिक अम्ल की आवश्यकता है। यदि $F_1$ की कीमत $₹\ 6/ kg$ और $F_2$ की कीमत $₹\ 5/ kg$ है, प्रत्येक प्रकार का कितना उर्वरक उपयोग के लिए चाहिए ताकि न्यूनतम मूल्य पर वांछित पोषक तत्व मिल सके। न्यूनतम लागत क्या है।
Exercise-12.2-10
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मान लीजिए किसान उर्वरक $F_1$ का $x$ किग्रा तथा $F_2$ की $y$ किग्रा मात्रा मिलाता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
उर्वरक की कुल लागत, $Z = 6x + 5y$
अतः उद्देश्य फलन $Z = 6x + 5y ...(i)$
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
$\frac{x}{10}+\frac{y}{20} \geq 14 \Leftrightarrow 2x + y \geq$ 280 ...(ii)$
तथा $\frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100} \geq14\Leftrightarrow 3x + 5y \geq 700 ...(iii)$
$x \geq 0, y \geq 0 ...(iv)$
सर्वप्रथम, रेखा $2x + y = 280$ का ग्राफ खींचते हैं।
$(0, 0)$ असमिका $2x + y \geq 280$ में रखने पर,
$2 \times 0 + 0 \geq 280 \Rightarrow 0 \geq 280 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की विपरीत ओर होगा। चूँकि $x, y \geq 0$ है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा $3x + 5y = 700$ का ग्राफ खींचते हैं।
$(0, 0)$ असमिका $3x + 5y \geq 700$ में रखने पर,
$3 \times 0 + 5 \times 0 \geq 700 \Rightarrow 0 \geq 700 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतव मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
समीकरण $2x + y = 280$ तथा $3x + 5y = 700$ को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु $B(100, 80)$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु $A\left(\frac{700}{3}, 0\right), B(100, 80)$ तथा $C(0, 280)$ हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर $Z$ का मान निम्न है।
चूँकि सुसंगत क्षेत्र आपरिबद्ध है, अतः $Z$ का निम्नतम मान $100$ हो भी सकता है तथा नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका $6x + 5y < 1000$ का ग्राफ खींचते हैं और परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का कोई बिंदु सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ है या नहीं हैं यहाँ, कोई बिंदु उभयनिष्ठ नहीं है, अतः निम्नतम लागत $₹\ 1000$ प्राप्त करने के लिए उर्वरक $F_1$ के $100$ किग्रा तथा $F_2$ के $80$ किग्रा मात्रा प्रयोग करनी चाहिए।
| प्रकार | मात्रा $($किग्रा में$)$ |
नाइट्रोजन | फास्फोरिक अम्ल |
लागत $(₹$ में$)$ |
| $F_1$ | $x$ | $\frac{10}{100} x=\frac{1}{10} x$ | $\frac{6}{100}$x | $6x$ |
| $F_2$ | $y$ | $\frac{5}{100} y=\frac{1}{20} y$ | $\frac{10}{100}$y | $5y$ |
| कुल | $x + y$ | $\frac{x}{10}+\frac{y}{20}$ | $\frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100}$ | $6x + 5y$ |
| आवश्यकता (किग्रा में) | $14$ | $14$ |
अतः उद्देश्य फलन $Z = 6x + 5y ...(i)$
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
$\frac{x}{10}+\frac{y}{20} \geq 14 \Leftrightarrow 2x + y \geq$ 280 ...(ii)$
तथा $\frac{6 x}{100}+\frac{10 y}{100} \geq14\Leftrightarrow 3x + 5y \geq 700 ...(iii)$
$x \geq 0, y \geq 0 ...(iv)$
सर्वप्रथम, रेखा $2x + y = 280$ का ग्राफ खींचते हैं।
| $x$ | $0$ | $140$ |
| $y$ | $280$ | $0$ |
$2 \times 0 + 0 \geq 280 \Rightarrow 0 \geq 280 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की विपरीत ओर होगा। चूँकि $x, y \geq 0$ है, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में होगा।
अब, रेखा $3x + 5y = 700$ का ग्राफ खींचते हैं।
| $x$ | $0$ | $\frac{700}{3}$ |
| $y$ | $140$ | $0$ |
$3 \times 0 + 5 \times 0 \geq 700 \Rightarrow 0 \geq 700 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतव मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
समीकरण $2x + y = 280$ तथा $3x + 5y = 700$ को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु $B(100, 80)$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु $A\left(\frac{700}{3}, 0\right), B(100, 80)$ तथा $C(0, 280)$ हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर $Z$ का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | $Z = 6x + 5y$ |
| A$\left(\frac{700}{3}, 0\right)$ | $1400$ |
| $B(100, 80)$ | $1000 \rightarrow$ निम्नतम |
| $C(0, 280)$ | $1400$ |
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