दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 120, x + y $\geq$ 60, x - 2y $\geq$ 0, x $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 120, x + y $\geq$ 60, x - 2y $\geq$ 0, x $\geq$ 0
Exercise-12.1-7
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हमको उद्देश्य फलन
Z = 5x + 10y ...(i)
का मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 120 ...(ii)
x + y $\geq$ 60 ...(iii)
x - 2y $\geq$ 0 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।
Z = 5x + 10y ...(i)
का मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 120 ...(ii)
x + y $\geq$ 60 ...(iii)
x - 2y $\geq$ 0 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 120 |
| y | 60 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 120 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अब, रेखा x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 60 |
| y | 60 | 0 |
(0, 0) असमिका x + y $\geq$ 60 में रखने पर,
0 + 0 $\geq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 60 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा x - 2y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 10 |
| y | 0 | 5 |
(5, 0) असमिका x - 2y $\geq$ 0 में रखने पर,
5 - 2 $\times$ 0 $\geq$ 0 $\Rightarrow$ 5 $\geq$ 0 (जोकि सत्य है)
जोकि X-अक्ष के ऊपर है। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
समीकरण x - 2y = 0 तथा x +y = 60 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु D(40, 20) तथा
समीकरण x - 2y = 0 तथा x + 2y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(60, 30) प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(60, 0), B(120, 0), C(60, 30) तथा D(40, 20) हैं। इन बिंदुओं पर Z का मान निम्न हैं।
| शीर्ष बिंदु | Z = 5x + 10y |
| A(60, 0) | 300 $\rightarrow$ निम्नतम |
| B(120, 0) | 600 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(60, 30) | 600 $\rightarrow$ अधिकतम |
| D(40, 20) | 400 |
Z का निम्नतम मान 300 है जोकि बिंदु (60, 0) पर प्राप्त होता है। तथा Z का अधिकतम मान 600 है जोकि बिंदु (120, 0) तथा (60, 30) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।
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