ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
3x + 5y $\leq$ 15, 5x + 2y $\leq$ 10, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
3x + 5y $\leq$ 15, 5x + 2y $\leq$ 10, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-3
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हमको उद्देश्य फलन
z = 5x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 5y $\leq$ 15 ...(ii)
5x + 2y $\leq$ 10 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 5y = 15 का ग्राफ खींचते हैं।
z = 5x + 3y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 5y $\leq$ 15 ...(ii)
5x + 2y $\leq$ 10 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 5y = 15 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 5 |
| y | 3 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + 5y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 5 $\times$ 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र पथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
अब, रेखा 5x + 2y = 10 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 2 |
| y | 5 | 0 |
(0, 0) असमिका 5x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर हैं।
समीकरण 3x + 5y = 15 तथा 5x + 2y = 10 को हल करने पर,
x = $\frac{20}{19}$ तथा y = $\frac{45}{19}$ प्राप्त होता हैं।
अतः बिंदु B के निर्देशांक $\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ हैं।
अतः सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(2, 0), B$\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ तथा C(0, 3) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 5x + 3y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(2, 0) | 10 |
| C(0, 3) | 9 |
| $B\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ | $\frac{235}{19}$ $\rightarrow$ अधिकतम |
अतः Z का अधिकतम मान $\frac{235}{19}$ है जोकि बिंदु $B\left(\frac{20}{19}, \frac{45}{19}\right)$ पर प्राप्त होता है।
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