परिवहन संबंधी समस्या (Transportation Problem) P और Q दो स्थानों पर दो कारखाने स्थापित हैं। इन स्थानों से सामान A, B और C पर स्थित तीन डिपो में भेजे जाते हैं। इन डिपो की साप्ताहिक आवश्यकता क्रमशः 5, 5 और 4 सामान की नग हैं, जब कि P और Q की स्थापित कारखानों की उत्पादन क्षमता 8 और 6 नग हैं।
प्रति नग परिवहन व्यय निम्न सारणीबद्ध है:
प्रति नग परिवहन व्यय निम्न सारणीबद्ध है:
| से/को | मूल्य (₹ में) | ||
| A | B | C | |
| P | 160 | 100 | 150 |
| Q | 100 | 120 | 100 |
प्रत्येक कारखाने से कितने नग सामान प्रत्येक डिपो को भेजा जाए जिससे परिवहन व्यय न्यूनतम हो? न्यूनतम परिवहन व्यय क्या होगा।
example-11
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आकृति द्वारा इस समस्या को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
माना कि माल के x नगों और y नगों को कारखाना P से क्रमशः A और B डिपो को भेजा गया। तब (8 - x - y) नगों को C डिपो तक भेजा जाएगा
अतः x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 और 8 - x - y $\geq$ 0
अर्थात् x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 और x + y $\leq$ 8
अब डिपो A पर सामान की साप्ताहिक आवश्यकता 5 नग है। क्योंकि P कारखाने से x नग डिपो A को भेजे जा चुके हैं इसलिए कारखाने Q से (5 - x) नग, डिपो A को भेजे जाएँगे। स्पष्टतः 5 - x $\geq$ 0, अर्थात् x $\leq$ 5 है।
इसी प्रकार (5 - y) और 6 - (5 - x + 5 - y) = x + y - 4 नग कारखाने Q से क्रमशः डिपो B और C को भेजे जाएँगे। अतः
5 - y $\geq$ 0, x + y - 4 $\geq$ 0
अर्थात् y $\leq$ 5, x + y $\geq$ 4
संपूर्ण परिवहन व्यय, जो Z द्वारा दिया गया है निम्न है:
Z = 160 x + 100 y + 100(5 - x) + 120(5 - y) + 100(x + y - 4) + 150(8 - x - y)
= 10(x -7y + 190)
इसलिए समस्या गणितीय रूप में निम्नलिखित रूप से व्यक्त की जा सकती है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(i)
x + y $\leq$ 8 ...(ii)
x $\leq$ 5 ...(iii)
y $\leq$ 5 ...(iv)
x + y $\geq$ 4 ...(v)
Z = 10(x - 7y + 190) का न्यूनतमीकरण कीजिए
व्यवरोधों (i) से (v) द्वारा निर्धारित छायांकित क्षेत्र ABCDEF सुसंगत क्षेत्र है (आकृति)
अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक (0, 4), (0, 5), (3, 5), (5, 3), (5, 0) और (4, 0) हैं। हम इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं:
माना कि माल के x नगों और y नगों को कारखाना P से क्रमशः A और B डिपो को भेजा गया। तब (8 - x - y) नगों को C डिपो तक भेजा जाएगा
अतः x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 और 8 - x - y $\geq$ 0
अर्थात् x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 और x + y $\leq$ 8
अब डिपो A पर सामान की साप्ताहिक आवश्यकता 5 नग है। क्योंकि P कारखाने से x नग डिपो A को भेजे जा चुके हैं इसलिए कारखाने Q से (5 - x) नग, डिपो A को भेजे जाएँगे। स्पष्टतः 5 - x $\geq$ 0, अर्थात् x $\leq$ 5 है।
इसी प्रकार (5 - y) और 6 - (5 - x + 5 - y) = x + y - 4 नग कारखाने Q से क्रमशः डिपो B और C को भेजे जाएँगे। अतः
5 - y $\geq$ 0, x + y - 4 $\geq$ 0
अर्थात् y $\leq$ 5, x + y $\geq$ 4
संपूर्ण परिवहन व्यय, जो Z द्वारा दिया गया है निम्न है:
Z = 160 x + 100 y + 100(5 - x) + 120(5 - y) + 100(x + y - 4) + 150(8 - x - y)
= 10(x -7y + 190)
इसलिए समस्या गणितीय रूप में निम्नलिखित रूप से व्यक्त की जा सकती है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(i)
x + y $\leq$ 8 ...(ii)
x $\leq$ 5 ...(iii)
y $\leq$ 5 ...(iv)
x + y $\geq$ 4 ...(v)
Z = 10(x - 7y + 190) का न्यूनतमीकरण कीजिए
व्यवरोधों (i) से (v) द्वारा निर्धारित छायांकित क्षेत्र ABCDEF सुसंगत क्षेत्र है (आकृति)
अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है। सुसंगत क्षेत्र के कोनीय बिंदुओं के निर्देशांक (0, 4), (0, 5), (3, 5), (5, 3), (5, 0) और (4, 0) हैं। हम इन बिंदुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं:
| कोनीय बिंदु | Z = 10(x - 7y + 190) |
| (0, 4) | 1620 |
| (0, 5) | 1550 $\leftarrow$ न्यूनतम |
| (3, 5) | 1580 |
| (5, 3) | 1740 |
| (5, 0) | 1950 |
| (4, 0) | 1940 |
सारणी से ज्ञात होता है कि बिंदु (0, 5) पर Z का न्यूनतम मान 1550 है।
अतः इष्टतम परिवहन स्थिति के अनुसार कारखाना P से 5, 0 और 3 नग और कारखाने Q से क्रमशः डिपो A, B और C तक 5,0 और 1 नग भेजा जाएगा। इसी स्थिति के संगत न्यूनतम परिवहन व्यय ₹1550 होगा।
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