Download App
एक फल उत्पादक अपने बाग में दो प्रकार के खादों P ब्रांड और Q ब्रांड का उपयोग कर सकता है। मिश्रण के प्रत्येक थैले में नाइट्रोजन, फास्फोरिक अम्ल, पोटाश और क्लोरीन की मात्रा (kg में) सारणी में दिया गया है। परीक्षण संकेत देते है कि बाग को कम से कम 250 kg फास्फोरिक अम्ल, कम से कम 270 kg पोटाश और क्लोरीन की अधिक से अधिक 310 kg की आवश्यकता है।
यदि उत्पादक बाग के लिए मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की मात्रा का न्यूनतमीकरण करना चाहता है तथा, प्रत्येक मिश्रण के कितने थैलों का उपयोग होना चाहिए? मिलाई जाने वाली नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा क्या है?
kg प्रति थैला
  ब्राँड P ब्राँड Q
नाइट्रोजन 3 3.5
फास्फोरिक अम्ल 1 2
पोटाश 3 1.5
क्लोरीन 1.5 2
Miscellaneous Exercise-8
Download our app for free and get startedPlay store
मान लीजिए फल उत्पादक P ब्रांड के x थैले तथा Q ब्रांड के y थैले का उपयोग करता है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।

उर्वरक के ब्रांड थैलों की संख्या नाइट्रोजन की
मात्रा		 फास्फोरिक
अम्ल की मात्रा		 पोटाश की
मात्रा		 क्लोरीन की
मात्रा
P x 3x x 3x 1.5x
Q y 3.5y 2x 1.5y 2y
कुल x + y 3x + 3.5y x + 2y 3x + 1.5y 1.5x + 2y

अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 3x + 3.5y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 240 ...(ii)
3x + 1.5y $\geq$ 270 ...(iii)
1.5x + 2y $\leq$ 310 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 240 का ग्राफ खींचते हैं।

x 0 240
y 120 0


(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 240 में रखने पर
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 240 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 240 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 3x + 1.5y = 270 का ग्राफ खींचते हैं।

x 0 90
y 180 0

(0, 0) असमिका 3x + 1.5y $\geq$ 270 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 1.5 $\times$ 0 $\geq$ 270 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 270 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिदु के विपरीत ओर होगा।
अब, रेखा 1.5x + 2y = 310 का ग्राफ खींचते हैं।

x 0 $\frac{620}{3}$
y 155 0

(0, 0) असमिका 1.5x + 2y $\leq$ 310 में रखने पर,
1.5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 310 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 310 (जोकि सत्य हैं)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर  होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 1.5x + 2y = 310 तथा x + 2y = 240 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु A(140, 50) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण 3x + 1.5y = 270 तथा 1.5x + 2y = 310, को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 140) प्राप्त होता है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र ABCA है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(140, 50), B(20, 140) तथा C(40, 100) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।

शीर्ष बिंदु Z = 3x + 3.5y
A(140, 50) 595
B(20, 140) 550
C(40, 100) 470 $\rightarrow$ निम्नतम

अतः Z का निम्नतम मान बिंदु C(40, 100) पर 470 प्राप्त होता है। बाग में नाइट्रोजन की निम्नतम मात्रा 470 किग्रा मिलाई जाने कि लिए, ब्रांड P के 40 थैलों तथा ब्रांड Q के 100 थैले का प्रयोग करना चाहिए।

art

Download our app
and get started for free

Experience the future of education. Simply download our apps or reach out to us for more information. Let's shape the future of learning together!No signup needed.*
Download App

Similar Questions

  • 1
    (आहार समस्या) एक आहारविद् दो भोज्यों P और Q का उपयोग करते हुए एक विशेष आहार तैयार करता है। भोज्य P का प्रत्येक पैकेट (जिसमें 30 ग्राम अंतर्विष्ट है) में कैल्शियम के 12 मात्रक लौह तत्व के 4 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 6 मात्रक और विटामिन A के 6 मात्रक अंतर्विष्ट हैं जबकि उसी मात्र के भोज्य Q के पैकेट में कैल्शियम तत्व के 3 मात्रक, लौह तत्व के 20 मात्रक, कोलेस्ट्रोल के 4 मात्रक और विटामिन A के 3 मात्रक अंतर्विष्ट है। आहार में कम से कम 240 मात्रक कैल्शियम, लौह तत्व के कम से कम 460 मात्रक, और कोलेस्ट्रोल के अधिक से अधिक 300 मात्रक अपेक्षित हैं। प्रत्येक भोज्य के कितने पैकेटों का उपयोग किया जाए ताकि आहार में विटामिन A की मात्रा का न्यूनतम किया जा सके।
    View Solution
  • 2
    दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
    निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = -x + 2y का अधिकतमीकरण कीजिए:
    x $\geq$ 3, x + y $\geq$ 5, x + 2y $\geq$ 6, y $\geq$ 0
    View Solution
  • 3
    एक प्रकार के केक को 200 ग्राम आटा तथा 25 ग्राम वसा (fat) की आवश्यकता होती है तथा दूसरी प्रकार के केक के लिए 100 ग्राम आटा तथा 50 ग्राम वसा की आवश्यकता होती है। केकों की अधिकतम संख्या बताओ जो 5 किलो आटे तथा 1 किलो वसा से बन सकते हैं, यह मान लिया गया है कि केकों को बनाने के लिए अन्य पदार्थों की कमी नहीं रहेगी।
    View Solution
  • 4
    दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
    निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
    x + 2y $\geq$ 100, 2x - y $\leq$ 0, 2x + y $\leq$ 200; x, y $\geq$ 0
    View Solution
  • 5
    ग्राफ़ीय विधि से निम्न रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
    निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 3y का अधिकतमीकरण कीजिए:
    3x + 5y $\leq$ 15, 5x + 2y $\leq$ 10, x $\geq$ 0, y $\geq$ 0
    View Solution
  • 6
    ग्राफ़ीय विधि से रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
    निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
    x + 2y $\leq$ 10, 3x + y $\leq$ 15, x, y $\geq$ 0
    View Solution
  • 7
    परिवहन संबंधी समस्या (Transportation Problem) P और Q दो स्थानों पर दो कारखाने स्थापित हैं। इन स्थानों से सामान A, B और C पर स्थित तीन डिपो में भेजे जाते हैं। इन डिपो की साप्ताहिक आवश्यकता क्रमशः 5, 5 और 4 सामान की नग हैं, जब कि P और Q की स्थापित कारखानों की उत्पादन क्षमता 8 और 6 नग हैं।
    प्रति नग परिवहन व्यय निम्न सारणीबद्ध है:

    से/को मूल्य (₹ में)
    A B C
    P 160 100 150
    Q 100 120 100

    प्रत्येक कारखाने से कितने नग सामान प्रत्येक डिपो को भेजा जाए जिससे परिवहन व्यय न्यूनतम हो? न्यूनतम परिवहन व्यय क्या होगा।

    View Solution
  • 8
    रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों। भोज्य P की लागत ₹60/kg और भोज्य Q की लागत ₹80/kg है। भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
    View Solution
  • 9
    दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
    निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 5x + 10y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
    x + 2y $\leq$ 120, x + y $\geq$ 60, x - 2y $\geq$ 0, x $\geq$ 0
    View Solution
  • 10
    एक भोज्य पदार्थ में कम से कम $80$ मात्रक विटामिन $A$ और $100$ मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य $F_1$ और $F_2$ उपलब्ध हैं। भोज्य $F_1$ की लागत $₹\ 4$प्रति मात्रक और $F_2$ की लागत $₹\ 5$ प्रति मात्रक है। भोज्य $F_1$ की एक इकाई में कम से कम $3$ मात्रक विटामिन $A$ और $4$ मात्रक खनिज है। $F_2$ की प्रति इकाई में कम से कम $6$ मात्रक विटामिन $A$ और $3$ मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्व हैं।
    View Solution