एक निर्माता दो प्रकार के खिलौने A और B बनाता है। इस उद्देश्य के लिए निर्माण में तीन मशीनों की आवश्यकता पड़ती है और प्रत्येक प्रकार के खिलौने के निर्माण के लिए लगा समय (मिनटों में) निम्नलिखित है।
| खिलौने के प्रकार | मशीन | ||
| I | II | III | |
| A | 12 | 18 | 6 |
| B | 6 | 0 | 9 |
प्रत्येक मशीन अधिकतम 6 घंटे प्रतिदिन के लिए उपलब्ध है। यदि A प्रकार के खिलौने की बिक्री पर ₹7.50 लाभ और B प्रकार के खिलौने पर ₹5 का लाभ हो तो दर्शाइए कि अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रतिदिन A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार 30 खिलौने निर्मित होने चाहिए।
Miscellaneous Exercise-4
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मान लीजिए निर्माता A प्रकार के x खिलौने और B प्रकार के y खिलोने बनाता है तब, निम्न तालिका प्राप्त होती है।
| खिलौने के प्रकार | खिलोनों की संख्या | मशीन । का समय (मिनट में) | मशीन ।I का समय (मिनट में) | मशीन ।II का समय (मिनट में) | लागत (₹ में) |
| A | x | 12x | 18x | 6x | 7.50x |
| B | y | 6y | 0y | 9y | 5y |
| कुल | x + y | 12x + 6y | 18x + 0y | 6x + 9y | 7.50x + 5y |
| कम-से-कम आवश्यकता | 6 $\times$ 60 = 360 | 6 $\times$ 60 = 360 | 6 $\times$ 60 = 360 |
अतः हमको उद्देश्य फलन Z = 7.50x + 5y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
12x + 6y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + y $\leq$ 60 ...(ii)
18x $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ x $\leq$ 20 ...(iii)
6x + 9y $\leq$ 360 $\Leftrightarrow$ 2x + 3y $\leq$ 120 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 60 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 30 |
| y | 60 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + y $\leq$ 60 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 60 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 60 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा 2x + 3y = 120 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 60 |
| y | 40 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + 3y $\leq$ 120 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 3 $\leq$ 0 $\leq$ 120 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 120 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
अब, रेखा x = 20 का ग्राफ खींचते हैं।
(0, 0) असमिका x $\leq$ 20 में रखने पर, 0 $\leq$ 20 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0
सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित होगा।
समीकरण 2x + y = 60 तथा 2x + 3y = 120 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु C(15, 30) प्राप्त होता है। इसी प्रकार, समीकरण x = 20 तथा 2x + y = 60 का हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु B(20, 20) प्राप्त होता है, अतः सुसंगत क्षेत्र OABCDO है।
अतः सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(20, 0), B(20, 20), C(15, 30) तथा D(0, 40) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 7.50x + 5y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(20, 0) | 150 |
| B(20, 20) | 250 |
| C(15, 30) | 712.5 $\rightarrow$ अधिकतम |
| D(0, 40) | 200 |
अतः Z का अधिकतम मान बिंदु C(15, 30) पर 721.5 प्राप्त होता है, अतः अधिकतम लागत 712.5 प्राप्त करने के लिए A प्रकार के 15 खिलौने और B प्रकार के 30 खिलौने बनाना चाहिए।
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