(आहार संबंधी समस्या): एक आहार विज्ञानी दो प्रकार के भोज्यों को इस प्रकार मिलाना चाहता है कि मिश्रण में विटामिन A का घटक कम से कम 8 मात्रक और विटामिन C का घटक कम से कम 10 मात्रक हो। भोज्य I में 2 मात्रक विटामिन A प्रति kg और 1 मात्रक विटामिन C प्रति kg है। जबकि भोज्य II में 1 मात्रक विटामिन A प्रति kg और 2 मात्रक विटामिन C प्रति kg है। दिया है कि प्रति kg भोज्य I को खरीदने में ₹50 और प्रति kg भोज्य II को खरीदने में ₹70 लगते हैं। इस प्रकार के भोज्य मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए।
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माना कि मिश्रण में भोज्य I का x kg और भोज्य II का y kg है। स्पष्टतः x $\geq$ 0 y $\geq$ 0. हम प्रदत्त आँकड़ों से निम्न सारणी बनाते हैं।
| स्रोत | भोज्य पदार्थ | आवश्यकता (मात्रकों में) | |
| I (x) | II (y) | ||
| विटामिन A (मात्रक/ kg) | 2 | 1 | 8 |
| विटामिन C (मात्रक/kg) | 1 | 2 | 10 |
| लागत (₹/kg) | 50 | 70 | |
चूँकि मिश्रण में विटामिन A की कम से कम 8 मात्रक और विटामिन C के 10 मात्रक होने चाहिए, अतः निम्नलिखित व्यवरोध प्राप्त होते हैं
2x + y $\geq$ 8
x + 2y $\geq$ 10
भोज्य I के x kg और भोज्य II के y kg खरीदने का कुल मूल्य Z है जहाँ
Z = 50x + 70y
अतः समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
2x + y $\geq$ 8 ...(i)
x + 2y $\geq$ 10 ...(ii)
x, y $\geq$ 0 ...(iii)
Z = 50x + 70y का न्यूनतमीकरण कीजिए
असमीकरणों (i) से (iii) तक के आलेखों द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र को आकृति में दिखाया गया है।
| कोनीय बिंदु | Z = 50x + 70y |
| (0, 8) | 560 |
| (2, 4) | 380 $\leftarrow$ न्यूनतम |
| (10, 0) | 500 |
यहाँ हम देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
हमें कोनीय बिंदुओं A(0, 8), B(2, 4) और C(10, 0) पर Z का मान ज्ञात करना है।
सारणी में, बिंदु (2, 4) पर Z का सबसे कम मान 380 है, क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान 380 है (क्यों?) याद कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए हमें निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचना पड़ेगा।
50x + 70y < 380
अर्थात् 5x + 7y < 38
जाँच करने के लिए कि क्या असमीकरण द्वारा निर्धारित परिणामी खुला अर्धतल, सुसंगत क्षेत्र के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु रखता है। आकृति में हम देखते हैं कि यहाँ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
अतः, बिंदु (2, 4) पर Z का प्राप्त न्यूनतम मान 380 है। इसलिए आहार विज्ञानी की इष्टतम मिश्रण योजना भोज्य 'I' की 2 kg और भोज्य 'II' के 4 kg के मिश्रण बनाने की हो सकती है और इस योजना के अंतर्गत मिश्रण का न्यूनतम मूल्य ₹ 380 होगा।
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