रेशमा दो प्रकार के भोज्य P और Q को इस प्रकार मिलाना चाहती है कि मिश्रण में विटामिन अवयवों में 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B हों। भोज्य P की लागत ₹60/kg और भोज्य Q की लागत ₹80/kg है। भोज्य P में 3 मात्रक/kg विटामिन A और 5 मात्रक/kg विटामिन B है जबकि भोज्य Q में 4 मात्रक/kg विटामिन A और 2 मात्रक/kg विटामिन है। मिश्रण की न्यूनतम लागत ज्ञात कीजिए।
Exercise-12.2-1
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मान लीजिए रेशमा भोज्य P का x किग्रा तथा भोज्य Q का y किग्रा मिलाती है।
| भोज्य | मात्रा | विटामिन A | विटामिन B | लागत (₹ प्रति/किग्रा में) |
| P | x किग्रा | 3x | 5x | 60x |
| Q | 7 किग्रा | 4y | 2y | 80y |
| कुल | 3x + 4y | 5x + 2y | 60x + 80y | |
| आवश्यकता | कम-से-कम 8 | कम-से-कम 11 |
मिश्रण में कम-से-कम 8 मात्रक विटामिन A तथा 11 मात्रक विटामिन B होगा। अतः खरीदे गए भोज्य की कुल लागत Z = 60x + 80y है।
दी गई रैखिक प्रक्रमन का गणितीय रूप निम्न है।
हमको उद्देश्य फलन Z = 60x + 80y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
3x + 4y $\geq$ 8 ...(ii)
5x + 2y $\geq$ 11 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 3x + 4y = 8 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | $\frac{8}{3}$ |
| y | 2 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + 4y $\geq$ 8 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 4 $\times$ 0 $\geq$ 8
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 8 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित है।
अब, रेखा 5x + 2y = 11 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | $\frac{11}{3}$ |
| y | $\frac{11}{2}$ | 0 |
(0, 0) असमिका 5x + 2y $\geq$ 11 में रखने पर,
5 $\times$ 0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 11 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 11 (जो कि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर स्थित होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
समीकरण 3x + 4y = 8 तथा 5x + 2y = 11 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A$\left(\frac{8}{3}, 0\right),$ B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ तथा C$\left(0, \frac{11}{2}\right)$ है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 60x + 80y |
| A$\left(\frac{8}{3}, 0\right)$ | 160 $\rightarrow$ निम्नतम |
| B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ | 160 $\rightarrow$ निम्नतम |
| C$\left(0, \frac{11}{2}\right)$ | 440 |
चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः Z का निम्नतम मान 160 हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए हम असमिका 60x + 80y < 160 या 3x + 4y < 8 का ग्राफ खींचते हैं तथा यह परीक्षण करते हैं कि इससे प्राप्त अर्द्धतल का सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं हैं, जोकि यहाँ नही है। अतः मिश्रण की निम्नतम लागत ₹ 160 है जोकि बिंदुओं A$\left(\frac{8}{3}, 0\right)$ तथा B$\left(2, \frac{1}{2}\right)$ को जोंड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होती है।
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