दिखाइए कि Z का न्यूनतम मान दो बिंदुओं से अधिक बिंदुओं पर घटित होता है।
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\geq$ 100, 2x - y $\leq$ 0, 2x + y $\leq$ 200; x, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण तथा अधिकतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\geq$ 100, 2x - y $\leq$ 0, 2x + y $\leq$ 200; x, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-8
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हमको उद्देश्य फलन
Z = x + 2y ...(i)
का निम्नतम तथा उच्चतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 100 ...(ii)
2x - y $\leq$ 0 ...(iii)
2x + y $\leq$ 200 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 100 का ग्राफ खींचते हैं।
Z = x + 2y ...(i)
का निम्नतम तथा उच्चतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\geq$ 100 ...(ii)
2x - y $\leq$ 0 ...(iii)
2x + y $\leq$ 200 ...(iv)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(v)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 100 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 100 |
| y | 50 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 100 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 100
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 100 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब, रेखा 2x - y = 0 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 10 |
| y | 0 | 20 |
(5, 0) असमिका 2x - y $\leq$ 0 में रखने पर,
2 $\times$ 5 - 0 $\leq$ 0 $\Rightarrow$ 10 $\Rightarrow$ 0 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल Y-अक्ष की ओर है।
अब, रेखा 2x + y = 200 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 100 |
| y | 200 | 0 |
(0, 0) असमिका 2 x + y $\leq$ 200 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 200 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 200 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा। चूँकि x, y $\geq$ 0, अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है। समीकरण 2x - y = 0 तथा x + 2y = 100 हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु B(20, 40) तथा समीकरण 2x - y = 0 तथा 2x + y = 200 को हल करने पर प्रतिच्छेद बिन्दु C(50, 100) होता होता है।
अतः सुसंगत क्षेत्र ABCDA है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(0, 50), B(20, 40), C(50, 100) तथा D(0, 200) हैं। इन शीर्ष बिंन्दुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = x + 2y |
| A(0, 50) | 100 $\rightarrow$ निम्नतम |
| B(20, 40) | 100 $\rightarrow$ निम्नतम |
| C(50, 100) | 250 |
| D(0, 200) | 400 $\rightarrow$ अधिकतम |
Z का अधिकतम मान 400 है जोकि D(0, 200) पर प्राप्त होता है तथा Z का निम्नतम मान 100 है जोकि बिंदुओं A(0, 50) तथा B(20, 40) को जोड़ने वाली रेखा के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।
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