उत्पादन संबंधी समस्या (Manufacturing Problem) एक निर्माणकर्ता कंपनी एक उत्पाद के दो नमूने (प्रतिमान) A और B बनाती है। नमूना A के प्रत्येक नग बनाने के लिए 9 श्रम घंटे और 1 घंटा पॉलिश करने के लिए लगता है जबकि नमूना B के प्रत्येक नग के बनाने में 12 श्रम घंटे तथा पॉलिश करने में 3 श्रम घटों की आवश्यकता होती है। बनाने तथा पॉलिश करने के लिए उपलब्ध अधिकतम श्रम घंटे क्रमशः 180 तथा 30 हैं। कंपनी नमूना A के प्रत्येक नग पर ₹ 8000 तथा नमूना B के प्रत्येक नग पर ₹12000 का लाभ कमाती है। नमूना A और नमूना B के कितने नगों का अधिकतम लाभ कमाने के लिए प्रति सप्ताह निर्माण करना चाहिए? प्रति सप्ताह अधिकतम लाभ क्या है?
example-8
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मान लीजिए कि नमूना A के नगों की संख्या x है तथा नमूना B के नगों की संख्या y है।
इसलिए कुल लाभ = (₹8000x + 12000y)
अतः Z = 8000x + 12000y
अब हमारे पास प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
9x + 12y $\leq$ 180
अर्थात् 3x + 4y $\leq$ 60 (गढ़ने का व्यवरोध) ...(i)
x + 3y $\leq$ 30 (पॉलिश का व्यवरोध) ...(ii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 (ऋणेतर व्यवरोध) ...(iii)
Z = 8000x + 12000y का अधिकतमीकरण कीजिए।
रैखिक असमीकरण (i) से (iii) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र OABC (छायांकित) आकृति में दिखाया गया है। ध्यान दीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है।
प्रत्येक कोनीय बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान की गणना की गई है जैसा कि निम्न सारणी में दिखाया गया है:
इसलिए कुल लाभ = (₹8000x + 12000y)
अतः Z = 8000x + 12000y
अब हमारे पास प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रीकरण निम्नलिखित है:
निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत
9x + 12y $\leq$ 180
अर्थात् 3x + 4y $\leq$ 60 (गढ़ने का व्यवरोध) ...(i)
x + 3y $\leq$ 30 (पॉलिश का व्यवरोध) ...(ii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 (ऋणेतर व्यवरोध) ...(iii)
Z = 8000x + 12000y का अधिकतमीकरण कीजिए।
रैखिक असमीकरण (i) से (iii) द्वारा निर्धारित सुसंगत क्षेत्र OABC (छायांकित) आकृति में दिखाया गया है। ध्यान दीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है।
प्रत्येक कोनीय बिंदु पर उद्देश्य फलन Z का मान की गणना की गई है जैसा कि निम्न सारणी में दिखाया गया है:
| कोनीय बिंदु | Z = 8000x + 12000y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(20, 0) | 160000 |
| B(12, 6) | 168000 $\leftarrow$ अधिकतम |
| C(0, 10) | 120000 |
हम शीर्ष B (12, 6) पर Z का अधिकतम मान ₹1,68,000 पाते हैं। अतः कंपनी को नमूना A के 12 नग तथा नमूना B के 6 नगों के उत्पादन पर अधिकतम लाभ कमाने के लिए करना चाहिए और अधिकतम लाभ ₹1,68,000 होगा।
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