ग्राफ़ीय विधि से रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 10, 3x + y $\leq$ 15, x, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = 3x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
x + 2y $\leq$ 10, 3x + y $\leq$ 15, x, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-5
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हमको उद्देश्य फलन
Z = 3x + 2y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 10 ...(ii)
3x + y $\leq$ 15 ...(iii)
x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 10 का ग्राफ खींचतें हैं।
Z = 3x + 2y ...(i)
का अधिकतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
x + 2y $\leq$ 10 ...(ii)
3x + y $\leq$ 15 ...(iii)
x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा x + 2y = 10 का ग्राफ खींचतें हैं।
| x | 0 | 10 |
| y | 5 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\leq$ 10 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\leq$ 10 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 10 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर होगा।
चूँकि x, y $\geq$ 0,
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में हैं।
अब, रेखा 3x + y = 15 का ग्राफ खींचते है।
| x | 0 | 5 |
| y | 15 | 0 |
(0, 0) असमिका 3x + y $\leq$ 15 में रखने पर,
3 $\times$ 0 + 0 $\leq$ 15 $\Rightarrow$ 0 $\leq$ 15 (जोकि सत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु की ओर है
समीकरण x + 2y = 10 तथा 3x + y = 15 को हल करने पर, x = 4 तथा y = 3 प्राप्त होते हैं।
$\therefore$ प्रतिच्छेद बिंदु B(4, 3) है।
$\therefore$ सुसंगत क्षेत्र OABCO है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु O(0, 0), A(5, 0), B(4, 3) तथा C(0, 5) हैं। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = 3x + 2y |
| O(0, 0) | 0 |
| A(5, 0) | 15 |
| B(4, 3) | 18 $\rightarrow$ अधिकतम |
| C(0, 2) | 10 |
अतः Z का अधिकतम मान 7 है जोकि बिंदु B(4, 3) पर है।
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