ग्राफ़ीय विधि से रैखिक प्रोग्रामन समस्या को हल कीजिए:
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
2x + y $\geq$ 3, x + 2y $\geq$ 6, x, y $\geq$ 0
निम्न अवरोधों के अंतर्गत Z = x + 2y का न्यूनतमीकरण कीजिए:
2x + y $\geq$ 3, x + 2y $\geq$ 6, x, y $\geq$ 0
Exercise-12.1-6
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हमको उद्देश्य फलन
Z = x + 2y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
2x + y $\geq$ 3 ...(ii)
x + 2y $\geq$ 6 ...(iii)
x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 3 का ग्राफ खींचते हैं।
Z = x + 2y ...(i)
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
2x + y $\geq$ 3 ...(ii)
x + 2y $\geq$ 6 ...(iii)
x, y $\geq$ 0 ...(iv)
सर्वप्रथम, रेखा 2x + y = 3 का ग्राफ खींचते हैं।
| x | 0 | 3 |
| y | 3 | 0 |
(0, 0) असमिका 2x + y $\geq$ 3 में रखने पर,
2 $\times$ 0 + 0 $\geq$ 3
$\Rightarrow$ 0 $\geq$ 3 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
चूँकि x, y $\geq$ 0
अतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा x + 2y = 6 का ग्राफ खींचते है।
| x | 0 | 6 |
| y | 3 | 0 |
(0, 0) असमिका x + 2y $\geq$ 6 में रखने पर,
0 + 2 $\times$ 0 $\geq$ 6 $\Rightarrow$ 0 $\geq$ 6 (जोकि असत्य है)
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
अब रेखा x + 2y = 6 तथा 2x + y = 3 का प्रतिच्छेद बिंदु B(0, 3) है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु A(6, 0) तथा B(0, 3) है। इन शीर्ष बिंदुओं पर Z का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | Z = x + 2y |
| A(6, 0) | 6 |
| B(0, 3) | 6 |
यहाँ, बिंदु A तथा B पर Z का मान समान है। यदि रेखा x + 2y = 6 पर बिंदु (2, 2) रखे, तो Z = 6 प्राप्त होता है, अतः Z का निम्नतम मान दो या दो से अधिक बिंदुओं पर प्राप्त होता है। अतः Z का निम्नतम मान रेखा x + 2y = 6 के प्रत्येक बिंदु पर प्राप्त होता है।
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