एक भोज्य पदार्थ में कम से कम $80$ मात्रक विटामिन $A$ और $100$ मात्रक खनिज होना चाहिए। दो प्रकार के भोज्य $F_1$ और $F_2$ उपलब्ध हैं। भोज्य $F_1$ की लागत $₹\ 4$प्रति मात्रक और $F_2$ की लागत $₹\ 5$ प्रति मात्रक है। भोज्य $F_1$ की एक इकाई में कम से कम $3$ मात्रक विटामिन $A$ और $4$ मात्रक खनिज है। $F_2$ की प्रति इकाई में कम से कम $6$ मात्रक विटामिन $A$ और $3$ मात्रक खनिज हैं। इसको एक रैखिक प्रोग्रामन समस्या के रूप में सूत्रबद्ध कीजिए। उस आहार का न्यूनतम मूल्य ज्ञात कीजिए, जिसमें इन दो भोज्यों का मिश्रण है और उसमें न्यूनतम पोषक तत्व हैं।
Exercise-12.2-9
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मान लीजिए भोज्य पदार्थ में $F_1$ भोज्य $x$ इकाई तथा $F_2$ भोजय $y$ इकाई है, तब निम्न तालिका प्राप्त होती है।
$F_1$ भोज्य की लागत $₹\ 4$ प्रति इकाई तथा $F_2$ भोज्य की लागत $₹\ 6$ प्रति इकाई है।
अतः उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y ...(i)$
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
$3x + 6y \geq 80 ...(ii)$
$4x + 3y \geq 100 ...(iii)$
$x \geq 0, y \geq 0 ...(iv)$
सर्वप्रथम, रेखा $3x + 6y = 80$ का ग्राफ खींचते हैं।
$(0, 0)$ असमिका $3x + 6y \geq 80$ में रखने पर,
$3 \times 0 + 6 \times 0 \geq 80 \Rightarrow 0 \geq 80 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। चूँकि $x, y \geq 0$ है, अंतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा $4x + 3y = 100$ का ग्राफ खींचते हैं।
$(0, 0)$ असमिका $4x + 3y \geq 100$ में रखने पर,
$4 \times 0 + 3 \times 0 \geq 100$
$\Rightarrow 0 \geq 100 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
समीकरण $3x + 6y = 80$ तथा $4x + 3y = 100$ को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु $B(24, \frac{4}{3})$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु $A\left(\frac{80}{3}, 0\right), B\left(24, \frac{4}{3}\right)$ तथा $C\left(0, \frac{100}{3}\right)$ हैं। इन बिंदुओं पर $Z$ का मान निम्न है।
चूँकि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है, अतः $Z$ का निम्नतम मान $104$ हो भी सकता है और नहीं भी हो सकता है। इसके लिए असमिका $4x + 6y < 104$ या $2x + 3y \leq 52$ का ग्राफ खींचते हैं तथा परीक्षण करते हैं कि प्राप्त अर्द्धतल का सुसंगत क्षेत्र में कोई उभयनिष्ठ बिंदु है या नहीं है। यहाँ, कोई उभयनिष्ठ बिंदु नही है, अतः मिश्रण की निम्नतम लागत $₹\ 104$ है।
| प्रकार | संख्या | विटामिन $A$ $($प्रति मात्रक$)$ |
खनिज $($प्रति मात्रक$)$ |
व्यगत $(₹$ में$)$ |
| $F_1$ | $x$ | $3x$ | $4x$ | $4x$ |
| $F_2$ | $y$ | $6y$ | $3y$ | $6y$ |
| कुल | $x + y$ | $3x + 6y$ | $4x + 3y$ | $4x + 6y$ |
अतः उद्देश्य फलन $Z = 4x + 6y ...(i)$
का निम्नतम मान निम्न व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात करना है।
$3x + 6y \geq 80 ...(ii)$
$4x + 3y \geq 100 ...(iii)$
$x \geq 0, y \geq 0 ...(iv)$
सर्वप्रथम, रेखा $3x + 6y = 80$ का ग्राफ खींचते हैं।
| $x$ | $0$ | $\frac{80}{3}$ |
| $y$ | $\frac{40}{3}$ | $0$ |
$(0, 0)$ असमिका $3x + 6y \geq 80$ में रखने पर,
$3 \times 0 + 6 \times 0 \geq 80 \Rightarrow 0 \geq 80 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है। चूँकि $x, y \geq 0$ है, अंतः सुसंगत क्षेत्र प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
अब, रेखा $4x + 3y = 100$ का ग्राफ खींचते हैं।
| $x$ | $0$ | $25$ |
| $y$ | $\frac{100}{3}$ | $0$ |
$4 \times 0 + 3 \times 0 \geq 100$
$\Rightarrow 0 \geq 100 ($जोकि असत्य है$)$
अतः अर्द्धतल मूलबिंदु के विपरीत ओर है।
समीकरण $3x + 6y = 80$ तथा $4x + 3y = 100$ को हल करने पर प्रतिच्छेद बिंदु $B(24, \frac{4}{3})$ प्राप्त होता है।
स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
इस प्रकार, सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष बिंदु $A\left(\frac{80}{3}, 0\right), B\left(24, \frac{4}{3}\right)$ तथा $C\left(0, \frac{100}{3}\right)$ हैं। इन बिंदुओं पर $Z$ का मान निम्न है।
| शीर्ष बिंदु | $Z = 4x + 6y$ |
| $A\left(\frac{80}{3}, 0\right)$ | $\frac{320}{3} = 106.67$ |
| $B\left(24, \frac{4}{3}\right)$ | $104 \rightarrow$ निम्नतम |
| $C\left(0, \frac{100}{3}\right)$ | $200$ |
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