एक उत्पादन के कारखाने में तीन मशीनें I, II और III लगी हैं। मशीनें I और II अधिकतम 12 घंटे तक चलाए जाने की क्षमता रखती है। जबकि मशीन III प्रतिदिन कम से कम 5 घंटे चलना चाहिए। निर्माणकर्ता केवल दो प्रकार के सामान M और N का उत्पादन करता है, जिनमें प्रत्येक के उत्पादन में तीनों मशीनों की आवश्यकता होती है। M और N के प्रत्येक उत्पाद के एक नग उत्पादन में तीनों मशीनों के संगत लगे समय (घंटों में) निम्न लिखित सारणी में दिए हैं।
| उत्पाद | मशीन पर लगा समय (घंटों में) | ||
| I | II | III | |
| M | 1 | 2 | 1 |
| N | 2 | 1 | 1.25 |
वह उत्पाद M पर ₹600 प्रति नग और उत्पाद N पर ₹400 प्रति नग की दर से लाभ कमाती है। मानते हुए कि उसके सभी उत्पाद बिक जाते हैं, जिनका उत्पादन किया गया है, तब ज्ञात कीजिए कि प्रत्येक उत्पाद के कितने नगों का उत्पादन किया जाए, जिससे लाभ का अधिकतमीकरण हो? अधिकतम लाभ क्या होगा?
example-10
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माना कि उत्पाद M और N के नगों की संख्या क्रमशः x और y है।
उत्पादन पर कुल लाभ = ₹(600 x + 400 y)
प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रबद्ध रूप निम्नलिखित है:
Z = 600 x + 400 y का अधिकतमीकरण कीजिए
जहाँ व्यवरोध निम्नलिखित हैं।
x + 2y $\leq$ 12 (मशीन I पर व्यवरोध) ...(i)
2x + y $\leq$ 12 (मशीन II पर व्यवरोध) ...(ii)
x + $\frac{5}{4}$y $\geq$ 5 (मशीन III पर व्यवरोध) ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
हम व्यवरोधों (i) से (iv) का आलेखन करते हैं। आकृति में दिखाया गया सुसंगत क्षेत्र ABCDE (छायांकित) है जिसको व्यवरोधों (i) से (iv) तक द्वारा निर्धारित किया गया है। अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है, कोनीय बिंदुओं A, B, C, D और E के निर्देशांक क्रमशः (5, 0) (6, 0), (4, 4), (0, 6) और (0, 4) हैं।
इन कोनीय बिंदुओं ( शीर्षों) पर Z = 600 x + 400 y का मान निम्नलिखित सारणी में दिया गया है।
उत्पादन पर कुल लाभ = ₹(600 x + 400 y)
प्रदत्त समस्या का गणितीय सूत्रबद्ध रूप निम्नलिखित है:
Z = 600 x + 400 y का अधिकतमीकरण कीजिए
जहाँ व्यवरोध निम्नलिखित हैं।
x + 2y $\leq$ 12 (मशीन I पर व्यवरोध) ...(i)
2x + y $\leq$ 12 (मशीन II पर व्यवरोध) ...(ii)
x + $\frac{5}{4}$y $\geq$ 5 (मशीन III पर व्यवरोध) ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
हम व्यवरोधों (i) से (iv) का आलेखन करते हैं। आकृति में दिखाया गया सुसंगत क्षेत्र ABCDE (छायांकित) है जिसको व्यवरोधों (i) से (iv) तक द्वारा निर्धारित किया गया है। अवलोकन कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र परिबद्ध है, कोनीय बिंदुओं A, B, C, D और E के निर्देशांक क्रमशः (5, 0) (6, 0), (4, 4), (0, 6) और (0, 4) हैं।
इन कोनीय बिंदुओं ( शीर्षों) पर Z = 600 x + 400 y का मान निम्नलिखित सारणी में दिया गया है।
| कोनीय बिंदु | Z = 600 x + 400 y का मान |
| (5, 0) | 3000 |
| (6, 0) | 3600 |
| (4, 4) | 4000 $\leftarrow$ अधिकतम |
| (0, 6) | 2400 |
| (0, 4) | 1600 |
हम देखते हैं कि बिंदु (4, 4) Z का अधिकतम मान है। अतः उत्पादक को अधिकतम ₹4000 लाभ कमाने के लिए प्रत्येक उत्पाद के 4 नगों का उत्पादन करना चाहिए।
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