आलेखीय विधि द्वारा उद्देश्य फलन Z = -50x + 20y का न्यूनतम मान निम्नलिखित व्यवरोधों के अंतर्गत ज्ञात कीजिए:
2x - y $\geq$ -5 ...(i)
3x + y $\geq$ 3 ...(ii)
2x - 3y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
2x - y $\geq$ -5 ...(i)
3x + y $\geq$ 3 ...(ii)
2x - 3y $\leq$ 12 ...(iii)
x $\geq$ 0, y $\geq$ 0 ...(iv)
example-4
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सबसे पहले हम (i) से (iv) तक के असमीकरण निकाय द्वारा सुसंगत क्षेत्र का आलेख खींचते है। आकृति में सुसंगत क्षेत्र (छायांकित) दिखाया गया है। निरीक्षण कीजिए कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है।
अब हम कोनीय बिंदुओं पर Z का मान भी ज्ञात करेंगे:
अब हम कोनीय बिंदुओं पर Z का मान भी ज्ञात करेंगे:
| कोनीय बिंदु | Z = -50x + 20y |
| (0, 5) | 100 |
| (0, 3) | 60 |
| (1, 0) | -50 |
| (6, 0) | -300 $\leftarrow$ सबसे कम |
इस सारणी से हम ज्ञात करते हैं कि कोनीय बिंदु (6, 0) पर Z का सबसे कम मान -300 है। क्या हम कह सकते हैं कि Z का न्यूनतम मान -300 है? ध्यान दीजिए कि यदि क्षेत्र परिबद्ध होता तो यह Z का सबसे कम मान होता। लेकिन हम यहाँ देखते हैं कि सुसंगत क्षेत्र अपरिबद्ध है। इसलिए -300, Z का न्यूनतम मान हो भी सकता है और नहीं भी। इस समस्या का निष्कर्ष ज्ञात करने के लिए हम निम्नलिखित असमीकरण का आलेख खींचते हैं:
-50x + 20y < -300
अर्थात् -5x + 2y < -30
और जाँच कीजिए कि आलेख द्वारा प्राप्त खुले अर्धतल व सुसंगत क्षेत्र में उभयनिष्ठ बिंदु हैं या नहीं है। यदि इसमें उभयनिष्ठ बिंदु हैं, तब Z का न्यूनतम मान -300 नहीं होगा। अन्यथा, Z का न्यूनतम मान -300 होगा।
जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इसलिए, Z = -50x + 20y, का प्रदत्त व्यवरोधों के परिप्रेक्ष्य में न्यूनतम मान नहीं है।
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