आकृति में, केंद्रों $O$ और $O^\prime$ वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ $AB$ और $CD$ परस्पर $E$ पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि बिंदु $O, E, O^\prime$ संरेखी हैं।
Exercise-9.4-10
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निर्माण : $OA$ और $OC$ को मिलाइए।
$\angle AEC = \angle DEB ...($ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण$)$
$\triangle OEA$ और $\triangle OCE,$
$OA = OC ...($एक ही वृत्त की त्रिज्या$)$
$OE = OE ...($उभयनिष्ठ भुजा$)$
$\angle OAE = \angle OCE ...($प्रत्येक $90^\circ$ है$)$
$\Rightarrow \triangle OAE \cong \triangle OCE ...(\text{RHS}$ सर्वांगसमता मानदंड$)$
$\Rightarrow \angle AEO = \angle CEO ...(cpct)$
इसी प्रकार, केंद्र $O^\prime$ वाले वृत्त के लिए,
$\angle DEO^\prime = \angle BEO^\prime$
$\angle AEC = \angle DEB$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle AEC = \frac{1}{2} \angle DEB$
$\Rightarrow \angle AEO = \angle CEO = \angle DEO^\prime = \angle BEO^\prime$
इसलिए, सभी चारों कोण $OE$ और $O^\prime E$ द्वारा समान और समद्विभाजित हैं।
अतः, $O, E$ और $O^\prime$ संरेख हैं।
$\angle AEC = \angle DEB ...($ऊर्ध्वाधर विपरीत कोण$)$
$\triangle OEA$ और $\triangle OCE,$
$OA = OC ...($एक ही वृत्त की त्रिज्या$)$
$OE = OE ...($उभयनिष्ठ भुजा$)$
$\angle OAE = \angle OCE ...($प्रत्येक $90^\circ$ है$)$
$\Rightarrow \triangle OAE \cong \triangle OCE ...(\text{RHS}$ सर्वांगसमता मानदंड$)$
$\Rightarrow \angle AEO = \angle CEO ...(cpct)$
इसी प्रकार, केंद्र $O^\prime$ वाले वृत्त के लिए,
$\angle DEO^\prime = \angle BEO^\prime$
$\angle AEC = \angle DEB$
$\Rightarrow \frac{1}{2} \angle AEC = \frac{1}{2} \angle DEB$
$\Rightarrow \angle AEO = \angle CEO = \angle DEO^\prime = \angle BEO^\prime$
इसलिए, सभी चारों कोण $OE$ और $O^\prime E$ द्वारा समान और समद्विभाजित हैं।
अतः, $O, E$ और $O^\prime$ संरेख हैं।
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